Seja f(z)=u(x, y)+i(2 x y+y) uma função.
Usando as equações de Cauchy-Riemann, calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função u(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função complexa f(z) = u(x, y) + i(2xy + y) . A gente vai usar as equações de Cauchy-Riemann para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da parte real u(x, y) . Basicamente, vamos precisar entender como essas equações funcionam para relacionar as partes real e imaginária da função.

Passo 2

Primeiro, lembremos das Equações de Cauchy-Riemann. Para uma função f(z) = u(x, y) + iv(x, y) , elas dizem que:
partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x
Isso conecta as derivadas parciais de u e v .

Passo 3

No nosso caso, a parte imaginária da função é v(x, y) = 2xy + y . Vamos calcular as derivadas parciais de v em relação a x e y .
Primeiro, a derivada parcial de v em relação a y :
partial vpartial y = partialpartial y(2xy + y) = 2x + 1

Passo 4

Agora, a derivada parcial de v em relação a x :
partial vpartial x = partialpartial x(2xy + y) = 2y

Passo 5

Com essas derivadas, aplicamos as Equações de Cauchy-Riemann para encontrar as derivadas parciais de u .
Primeira equação:
partial upartial x = partial vpartial y = 2x + 1
Segunda equação:
partial upartial y = -partial vpartial x = -2y

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função u(x, y) são:
partial upartial x = 2x + 1 e partial upartial y = -2y

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