Sabe-se que, para alguma constante real e positiva lambda e para algum número natural n, os números raiz3+i e lambda i são raízes n-ésimas de um certo número z. Determine o valor da constante lambda. Determine ainda o menor valor possível para n. Fixado o valor minimal para n, faça um esboço da posição no plano complexo de todas as raízes n-ésimas do número z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que, para algum número real positivo lambda e para algum número natural n, os números raiz3 + i e lambda i são raízes n-ésimas de um certo número z. Nosso objetivo é encontrar o valor de lambda, descobrir o menor valor possível para n e, com esse n mínimo, esboçar a posição de todas as raízes n-ésimas de z no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser uma raiz n-ésima de um número complexo. Se w é uma raiz n-ésima de z, então w^n = z. Ou seja, todas as raízes n-ésimas de z são números que, elevados à potência n, resultam em z.

Passo 3

Como raiz3 + i e lambda i são ambas raízes n-ésimas de z, temos:
(raiz3 + i)^n = z e (lambda i)^n = z
Isso significa que:
(raiz3 + i)^n = (lambda i)^n

Passo 4

Vamos trabalhar com números complexos na forma polar, que é mais fácil para lidar com potências. Um número complexo w = a + b i pode ser representado como:
w = r (cos theta + i sin theta)
onde r = raiza^2 + b^2 é o módulo e theta = arctan(ba) é o argumento.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a forma polar de raiz3 + i:
r1 = raiz (raiz3)^2 + 1^2 = raiz3 + 1 = 2
theta1 = arctan(1raiz3) = pi6
Então,
raiz3 + i = 2 ( cos pi6 + i sin pi6 )

Passo 6

Agora, a forma polar de lambda i:
r2 = raiz0^2 + lambda^2 = lambda
theta2 = arctan(lambda0) = pi2
Então,
lambda i = lambda ( cos pi2 + i sin pi2 )

Passo 7

Como (raiz3 + i)^n = (lambda i)^n, igualamos as formas polares:
2^n ( cos npi6 + i sin npi6 ) = lambda^n ( cos npi2 + i sin npi2 )
Para que essas duas expressões sejam iguais, tanto os módulos quanto os argumentos devem ser iguais (considerando que os argumentos podem diferir por múltiplos de 2pi).

Passo 8

Igualando os módulos:
2^n = lambda^n Rightarrow lambda = 2
Então, lambda = 2.

Passo 9

Agora, igualando os argumentos:
npi6 = npi2 + 2kpi para algum inteiro k
Simplificando:
npi6 - npi2 = 2kpi Rightarrow -npi3 = 2kpi Rightarrow -n3 = 2k
Multiplicando ambos os lados por -1:
n3 = -2k
Como n é natural, k deve ser negativo. Vamos chamar k = -m, onde m é positivo:
n3 = 2m Rightarrow n = 6m
O menor valor de m é 1, então o menor valor possível para n é 6.

Passo 10

Com n = 6, as raízes 6-ésimas de z estão igualmente espaçadas no círculo de raio 2^6 = 64 no plano complexo, cada uma com um ângulo de 2pi6 = pi3 entre elas.

Resposta

O valor da constante lambda é 2. O menor valor possível para n é 6. Com n = 6, as raízes 6-ésimas de z estão distribuídas igualmente no círculo complexo de raio 64, formando um hexágono regular no plano complexo.

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