Sabe-se que, para alguma constante real e positiva
e para algum número natural
, os números
e
são raízes
-ésimas de um certo número
. Determine o valor da constante
. Determine ainda o menor valor possível para
. Fixado o valor minimal para
, faça um esboço da posição no plano complexo de todas as raízes
-ésimas do número
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos diz que, para algum número real positivo
e para algum número natural
, os números
e
são raízes
-ésimas de um certo número
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
, descobrir o menor valor possível para
e, com esse
mínimo, esboçar a posição de todas as raízes
-ésimas de
no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser uma raiz
-ésima de um número complexo. Se
é uma raiz
-ésima de
, então
. Ou seja, todas as raízes
-ésimas de
são números que, elevados à potência
, resultam em
.
Passo 3
Como
e
são ambas raízes
-ésimas de
, temos:
Isso significa que:
Passo 4
Vamos trabalhar com números complexos na forma polar, que é mais fácil para lidar com potências. Um número complexo
pode ser representado como:
onde
é o módulo e
é o argumento.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar a forma polar de
:
Então,
Passo 6
Agora, a forma polar de
:
Então,
Passo 7
Como
, igualamos as formas polares:
Para que essas duas expressões sejam iguais, tanto os módulos quanto os argumentos devem ser iguais (considerando que os argumentos podem diferir por múltiplos de
).
Passo 8
Igualando os módulos:
Então,
.
Passo 9
Agora, igualando os argumentos:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Como
é natural,
deve ser negativo. Vamos chamar
, onde
é positivo:
O menor valor de
é 1, então o menor valor possível para
é 6.
Passo 10
Com
, as raízes
-ésimas de
estão igualmente espaçadas no círculo de raio
no plano complexo, cada uma com um ângulo de
entre elas.
Resposta
O valor da constante
é
. O menor valor possível para
é
. Com
, as raízes
-ésimas de
estão distribuídas igualmente no círculo complexo de raio
, formando um hexágono regular no plano complexo.