Considere a função
f(z)= zbarz & se z neq 0 w0 & se z=0
Explique por que f é contínua em todo ponto z0 neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar a função [f(z)) definida por:
Queremos entender por que essa função é contínua em todo ponto (z_{0} \neq 0]. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto, como calcular limites de funções complexas e manipular números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função f(z) é contínua em um ponto z0 se o limite de f(z) quando z se aproxima de z0 é igual ao valor de f(z0) . Em outras palavras:
limz to z0 f(z) = f(z0)
Isso significa que não há “saltos” ou “buracos” no gráfico da função naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar nossa função f(z) para z0 neq 0 . Nessa situação, a definição da função nos dá:
f(z0) = z0z0
Então, para provar que f(z) é contínua em z0 neq 0 , precisamos mostrar que:
limz to z0 zz = z0z0

Passo 4

Vamos calcular esse limite passo a passo. Primeiro, expressamos z e z em termos de suas partes reais e imaginárias:
Seja z = x + iy , então z = x - iy .
Substituindo na expressão de f(z) :
f(z) = x + iyx - iy

Passo 5

Para simplificar a expressão x + iyx - iy , multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é x + iy :
f(z) = (x + iy)(x + iy)(x - iy)(x + iy) = (x + iy)^2x^2 + y^2
Expandindo o numerador:
(x + iy)^2 = x^2 + 2ixy - y^2
Então,
f(z) = x^2 - y^2 + 2ixyx^2 + y^2

Passo 6

Agora, queremos encontrar o limite de quando se aproxima de . Isso significa que se aproxima de e se aproxima de .
Substituindo e na expressão de :

Passo 7

Observando a expressão acima, vemos que ela é exatamente , pois:
Portanto,

Resposta

Assim, mostramos que limz to z0 f(z) = f(z0) para todo z0 neq 0 , o que significa que a função f(z) é contínua em todo ponto z0 neq 0 .

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