Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar a função [f(z)) definida por:
Queremos entender por que essa função é contínua em todo ponto (z_{0} \neq 0]. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto, como calcular limites de funções complexas e manipular números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor de . Em outras palavras:
Isso significa que não há “saltos” ou “buracos” no gráfico da função naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar nossa função para . Nessa situação, a definição da função nos dá:
Então, para provar que f(z) é contínua em z0 neq 0 , precisamos mostrar que:
limz to z0 zz = z0z0
Passo 4
Vamos calcular esse limite passo a passo. Primeiro, expressamos z e z em termos de suas partes reais e imaginárias:
Seja z = x + iy , então z = x - iy .
Substituindo na expressão de f(z) :
f(z) = x + iyx - iy
Passo 5
Para simplificar a expressão x + iyx - iy , multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é x + iy :