Considere a função de expressão f(x)=x^2+1x.
Calcule f^prime(x) e estude seu sinal. Diga se a f possui extremos locais.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos a função f(x)=x^2+1x, cujo domínio é Rsetminus0. O conteúdo envolvido é derivada de função racional (ou, mais simples, usar a forma f(x)=x+1/x) e a análise de sinal da derivada para identificar eventuais extremos locais.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever f(x) de forma mais simples e calcular sua derivada. Note que
f(x)=x^2+1x=x+1x

Passo 3

Aplicando a derivada termo a termo, temos
f'(x)=ddxl(xr)+ddxl(tfrac1xr)=1-1x^2

Passo 4

Agora estudamos o sinal de f'(x)=1-1/x^2. Resolvemos
1-1x^2>0Long<=ftrightarrow1>1x^2Long<=ftrightarrow x^2>1,
então f'(x)>0 para |x|>1, ou seja, em ( -infty,-1) e (1,infty). Da mesma forma, f'(x)<0 para 0< x^2<1, isto é, em (-1,0) e (0,1).

Passo 5

Com base nisso, f é crescente em ( -infty,-1) e em (1,infty), e decrescente em (-1,0) e (0,1). Logo há um ponto de máximo local em x=-1 e um ponto de mínimo local em x=1. Calculando-os:
f(-1)=(-1)^2+1-1=-2, f(1)=1^2+11=2

Resposta

f’(x)=1-1/x^2; f’(x)>0 em x< -1 e x>1, f’(x)<0 em -1<x<0 e 0<x<1. Há máximo local em (-1,-2) e mínimo local em (1,2).

Exercícios relacionados