Encontre a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=3 s+1s^2-2 s+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função $ F(s) = \frac{3s + 1}{s^2 - 2s + 2} $. Isso está relacionado ao estudo das Transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão de $ F(s) $ para uma forma que seja fácil de identificar a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: $ s^2 - 2s + 2 $. Essa é uma expressão quadrática, e para simplificar, vamos completar o quadrado. Isso nos ajudará a reconhecer uma forma padrão da transformada de Laplace.
Completar o quadrado para $ s^2 - 2s + 2 $:
s^2 - 2s + 2
Então, o denominador fica $ (s - 1)^2 + 1 $.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função $ F(s) $ com o denominador simplificado:
F(s)
Para facilitar a identificação da transformada inversa, vamos ajustar o numerador para que ele tenha a mesma estrutura do denominador. Queremos que o numerador seja algo parecido com $ s - a $ ou uma constante.

Passo 4

Vamos separar o numerador $ 3s + 1 $ de forma que possamos associar termos:
3s + 1
3s + 1 = 3(s - 1) + 4
Agora, a função fica:
= 3(s - 1) + 4

Passo 5

Podemos separar a fração em duas partes:
F(s) = 3(s - 1)(s - 1)^2 + 1 + 4(s - 1)^2 + 1
Agora, temos duas frações que podem ser associadas a transformadas inversas conhecidas.

Passo 6

Vamos lembrar das seguintes transformadas de Laplace inversas:
L^-1s - a(s - a)^2 + b^2 = e^at cos(bt)
L^-1b(s - a)^2 + b^2 = e^at sin(bt)
No nosso caso, comparando com essas fórmulas, temos $ a = 1 $ e $ b = 1 $.

Passo 7

Aplicando as fórmulas:
Para a primeira parte:
L^-13(s - 1)(s - 1)^2 + 1 = 3e^t cos(t)
Para a segunda parte:
L^-14(s - 1)^2 + 1 = 4e^t sin(t)

Resposta

Assim, a transformada de Laplace inversa de $ F(s) = \frac{3s + 1}{s^2 - 2s + 2} $ é:
F(s) = 3s + 1s^2 - 2s + 2

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