Encontre a transformada de Laplace inversa da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função $ F(s) = \frac{3s + 1}{s^2 - 2s + 2} $. Isso está relacionado ao estudo das Transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão de $ F(s) $ para uma forma que seja fácil de identificar a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: $ s^2 - 2s + 2 $. Essa é uma expressão quadrática, e para simplificar, vamos completar o quadrado. Isso nos ajudará a reconhecer uma forma padrão da transformada de Laplace.
Completar o quadrado para $ s^2 - 2s + 2 $:
Então, o denominador fica $ (s - 1)^2 + 1 $.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função $ F(s) $ com o denominador simplificado:
Para facilitar a identificação da transformada inversa, vamos ajustar o numerador para que ele tenha a mesma estrutura do denominador. Queremos que o numerador seja algo parecido com $ s - a $ ou uma constante.
Passo 4
Vamos separar o numerador $ 3s + 1 $ de forma que possamos associar termos:
Agora, a função fica:
Passo 5
Podemos separar a fração em duas partes:
Agora, temos duas frações que podem ser associadas a transformadas inversas conhecidas.
Passo 6
Vamos lembrar das seguintes transformadas de Laplace inversas:
No nosso caso, comparando com essas fórmulas, temos $ a = 1 $ e $ b = 1 $.
Passo 7
Aplicando as fórmulas:
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Resposta
Assim, a transformada de Laplace inversa de $ F(s) = \frac{3s + 1}{s^2 - 2s + 2} $ é: