Considere a função f:(0,1] R, definida por f(x)=1x.
a) Mostre que f é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f:(0,1] \rightarrow \mathbb{R} $, definida por $ f(x) = \frac{1}{x} $. A pergunta é para mostrar que essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e aplicar isso à nossa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se, ao nos aproximarmos desse ponto, os valores da função também se aproximam do valor da função nesse ponto. Mais formalmente, $ f $ é contínua em $ c $ se:
f
Vamos usar essa definição para provar que $ f(x) = \frac{1}{x} $ é contínua em todo o intervalo $ (0,1] $.

Passo 3

Escolhemos um ponto qualquer $ c $ no intervalo $ (0,1] $. Nosso objetivo é mostrar que:
c
Isso significa que, à medida que $ x $ se aproxima de $ c $, $ \frac{1}{x} $ se aproxima de $ \frac{1}{c} $.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
limx to c 1x = 1limx to c x = 1c
Aqui, usamos a propriedade de que o limite de uma função contínua é a função avaliada no limite.

Passo 5

Como o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ c $ é igual a $ f© $, concluímos que $ f $ é contínua em $ c $. Como $ c $ foi escolhido arbitrariamente no intervalo $ (0,1] $, isso vale para todo o intervalo.

Resposta

Portanto, a função $ f(x) = \frac{1}{x} $ é contínua no intervalo $ (0,1] $.

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