Considere a função
, definida por
.
a) Mostre que
é contínua.
a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f:(0,1] \rightarrow \mathbb{R} $, definida por $ f(x) = \frac{1}{x} $. A pergunta é para mostrar que essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e aplicar isso à nossa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se, ao nos aproximarmos desse ponto, os valores da função também se aproximam do valor da função nesse ponto. Mais formalmente, $ f $ é contínua em $ c $ se:
Vamos usar essa definição para provar que $ f(x) = \frac{1}{x} $ é contínua em todo o intervalo $ (0,1] $.
Passo 3
Escolhemos um ponto qualquer $ c $ no intervalo $ (0,1] $. Nosso objetivo é mostrar que:
Isso significa que, à medida que $ x $ se aproxima de $ c $, $ \frac{1}{x} $ se aproxima de $ \frac{1}{c} $.
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Aqui, usamos a propriedade de que o limite de uma função contínua é a função avaliada no limite.
Passo 5
Como o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ c $ é igual a $ f© $, concluímos que $ f $ é contínua em $ c $. Como $ c $ foi escolhido arbitrariamente no intervalo $ (0,1] $, isso vale para todo o intervalo.
Resposta
Portanto, a função $ f(x) = \frac{1}{x} $ é contínua no intervalo $ (0,1] $.