Considere a função f: R-0 R, definida por f(x)=x|x|.
a) Mostre que f é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função $ f(x) = \frac{x}{|x|} $ é contínua. Estamos trabalhando com o conceito de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e analisar o comportamento dessa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando $ x $ se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Mais formalmente, $ f $ é contínua em $ c $ se:
x
No nosso caso, a função $ f $ está definida para todos os números reais exceto zero, ou seja, $ \mathbb{R} - {0} $.

Passo 3

Vamos analisar a função $ f(x) = \frac{x}{|x|} $. Observa que:
  • Para $ x > 0 $, $ |x| = x $, então $ f(x) = \frac{x}{x} = 1 $.
  • Para $ x < 0 $, $ |x| = -x $, então $ f(x) = \frac{x}{-x} = -1 $.
Isso significa que a função $ f $ é uma função constante em cada intervalo: ela vale 1 para todos os $ x $ positivos e -1 para todos os $ x $ negativos.

Passo 4

Funções constantes são contínuas em todo o seu domínio, porque não há “saltos” ou “interrupções” no valor da função. Como $ f(x) $ é constante em $ x > 0 $ e em $ x < 0 $, a função não tem pontos de descontinuidade nesses intervalos.

Passo 5

Além disso, como a função não está definida em $ x = 0 $, não precisamos nos preocupar com a continuidade nesse ponto específico para o domínio dado $ \mathbb{R} - {0} $.

Resposta

Portanto, a função $ f(x) = \frac{x}{|x|} $ é contínua em todo o seu domínio $ \mathbb{R} - {0} $.

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