Fixado
, considere a função
definida por
.
c) Mostre que para todo
, existe um único
tal que
, ou seja,
.
c) Mostre que para todo
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x) = x^n $ definida para todo $ x $ maior ou igual a zero. O objetivo é mostrar que, para qualquer número $ a $ que também seja maior ou igual a zero, existe um único número $ b $ que, quando elevado à potência $ n $, resulta em $ a $. Ou seja, queremos provar que $ b = \sqrt[n]{a} $.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na existência de tal número $ b $. Sabemos que a função $ f(x) = x^n $ é contínua e crescente para $ x \geq 0 $. Isso significa que, conforme $ x $ aumenta, $ f(x) $ também aumenta sem “pular” valores. Portanto, para qualquer $ a \geq 0 $, deve haver pelo menos um $ b \geq 0 $ tal que $ f(b) = b^n = a $.
Passo 3
Agora, vamos garantir que esse número $ b $ seja único. Suponha que existam dois números diferentes, $ b_1 $ e $ b_2 $, ambos maiores ou iguais a zero, tais que $ b_1^n = a $ e $ b_2^n = a $. Como a função $ f(x) = x^n $ é estritamente crescente, se $ b_1 \neq b_2 $, então $ f(b_1) \neq f(b_2) $. Isso contradiz a suposição de que ambos elevam-se a $ n $ para dar $ a $. Portanto, deve haver apenas um único $ b $ que satisfaz $ b^n = a $.
Resposta
Para todo $ a \geq 0 $, existe um único número $ b \geq 0 $ tal que $ a = b^{n} $, ou seja, $ b = \sqrt[n]{a} $.