Considere a função
, em que
, dada por
. O número
pertence ao conjunto imagem de
? Justifique sua resposta.
Passo 1
A questão dá a função
com
e
. Ela pergunta se existe algum
tal que
. Esse é um problema sobre imagem de função em duas variáveis.
Passo 2
Para ver se
está na imagem, a gente bota
e resolve a equação:
Isso equivale a
Passo 3
Agora precisamos checar soluções que respeitem
. Se
, a equação vira
, impossível. Logo a única chance é
. Nesse caso podemos isolar
Passo 4
Como
, o quociente
fica positivo e
é um número real sem restrição. Portanto há infinitas soluções com
. Basta escolher qualquer
e definir
.
Passo 5
Por exemplo, escolhendo
obtemos
. Então
Passo 6
Isso mostra que há pelo menos um
tal que
.
Resposta
Sim. Por exemplo, para
temos
, logo
pertence à imagem de
.