Considere a função f: D R, em que D=(x, y) in R^2 mid x <= 0, dada por f(x, y)=x y+3. O número z=0 pertence ao conjunto imagem de f ? Justifique sua resposta.

Passo 1

A questão dá a função f: D to R com D=(x,y)inR^2mid x<=0 e f(x,y)=xy+3. Ela pergunta se existe algum (x,y)in D tal que f(x,y)=0. Esse é um problema sobre imagem de função em duas variáveis.

Passo 2

Para ver se 0 está na imagem, a gente bota f(x,y)=0 e resolve a equação:
xy + 3 = 0
Isso equivale a
xy = -3

Passo 3

Agora precisamos checar soluções que respeitem x<=0. Se x=0, a equação vira 0cdot y=-3, impossível. Logo a única chance é x<0. Nesse caso podemos isolar
y = -3x

Passo 4

Como x<0, o quociente -3/x fica positivo e y é um número real sem restrição. Portanto há infinitas soluções com x<0. Basta escolher qualquer x<0 e definir y=-3/x.

Passo 5

Por exemplo, escolhendo x=-1 obtemos y=-3/(-1)=3. Então
f(-1,3)=(-1)cdot3+3=0

Passo 6

Isso mostra que há pelo menos um (x,y)in D tal que f(x,y)=0.

Resposta

Sim. Por exemplo, para (x,y)=(-1,3) temos f(-1,3)=0, logo 0 pertence à imagem de f.

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