Faça o que se pede em cada um dos casos a seguir.
A série sumn=1^+infty n(n^6+1)^23 é convergente? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=1^infty n(n^6+1)^2/3. O conteúdo principal é séries numéricas e vamos precisar do teste de comparação assintótica (ou teste de comparação limite) junto com o critério de série p, sabendo que séries da forma sum 1/n^p convergem se p>1.

Passo 2

Observamos que para valores grandes de n, n^6+1 se comporta como n^6, de forma que o termo geral da série se aproxima de
n(n^6+1)^2/3sim n(n^6)^2/3=nn^4=1n^3

Passo 3

A série sum 1/n^3 é uma série p com p=3>1, logo convergente. Para formalizar, aplicamos o teste de comparação limite com an=n(n^6+1)^2/3 e bn=1n^3. Calculamos
L=limntoinftyanbn=limntoinftyn(n^6+1)^2/31/n^3=limntoinftyn^4(n^6+1)^2/3=limntoinftyl(n^6n^6+1r)^2/3=1

Passo 4

Como 0 e sum bn converge, pelo teste de comparação limite concluímos que sum an também converge.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados