Considere a função f dada por f(x)=x-4x^2-2 x+1.
Determine as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais.

Passo 1

Temos a função racional f(x)=x-4x^2-2x+1. O conteúdo aqui é estudo de assíntotas de função racional: para as verticais, precisamos analisar zeros do denominador e limites laterais; para a horizontal, comparar graus do numerador e do denominador.

Passo 2

O denominador factoriza-se como x^2-2x+1=(x-1)^2. Logo, o único ponto que anula o denominador é x=1. Como o numerador em x=1 vale 1-4=-3 (não nulo), há um polo de ordem 2 em x=1. Portanto, existe uma assíntota vertical em x=1.

Passo 3

Para confirmar o comportamento próximo a x=1, note que (x-1)^2>0 perto de 1 (exceto em 1) e o numerador tende a -3, de modo que f(x)to-infty de ambos os lados de x=1, reforçando a assíntota vertical.

Passo 4

Para a assíntota horizontal, comparamos os graus: o numerador é de grau 1 e o denominador de grau 2. Quando o grau do numerador é menor, vale que f(x)to0 conforme xtopminfty. Assim, a assíntota horizontal é y=0.

Resposta

Assíntota vertical: x=1. Assíntota horizontal: y=0.

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