Considere a função
dada por
.
Determine os intervalos em que a função é concava para cima e concava para baixo e possíveis pontos de inflexão.
Determine os intervalos em que a função é concava para cima e concava para baixo e possíveis pontos de inflexão.
Passo 1
A questão pede para determinar onde a função é côncava para cima e para baixo e seus pontos de inflexão. O conteúdo é análise de concavidade, o que requer calcular a segunda derivada e estudar seu sinal.
Passo 2
Começamos calculando a primeira derivada. Reescrevemos a função como
e aplicamos a regra do produto e cadeia.
Passo 3
Depois, derivamos
para obter a segunda derivada. Após simplificar os termos chegamos ao resultado:
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de . Como
para todo
, o sinal de
é o mesmo de
.
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de
Passo 4
Assim, em
temos
(côncava para baixo) nos intervalos
e
, e em
temos
(côncava para cima) em . Em
ocorre mudança de concavidade, gerando um ponto de inflexão em que
.
Resposta
Concava para baixo em (-∞,1) ∪ (1,10); concava para cima em (10,∞); ponto de inflexão em (10,2/27).