Considere a função f dada por f(x)=x-4x^2-2 x+1.
Determine os intervalos em que a função é concava para cima e concava para baixo e possíveis pontos de inflexão.

Passo 1

A questão pede para determinar onde a função é côncava para cima e para baixo e seus pontos de inflexão. O conteúdo é análise de concavidade, o que requer calcular a segunda derivada e estudar seu sinal.

Passo 2

Começamos calculando a primeira derivada. Reescrevemos a função como f(x)=(x-4)(x-1)^-2 e aplicamos a regra do produto e cadeia.

Passo 3

Depois, derivamos f'(x) para obter a segunda derivada. Após simplificar os termos chegamos ao resultado:
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de f''(x)= 2(x-10)(x-1)^4. Como (x-1)^4>0 para todo xneq1, o sinal de f''(x) é o mesmo de x-10.

Passo 4

Assim, em x<10 temos f''(x)<0 (côncava para baixo) nos intervalos (1,10) e x>10, e em f''(x)>0 temos (10,nobreaknInfinity) (côncava para cima) em . Em x=10 ocorre mudança de concavidade, gerando um ponto de inflexão em que f(10)=2/27.

Resposta

Concava para baixo em (-∞,1) ∪ (1,10); concava para cima em (10,∞); ponto de inflexão em (10,2/27).

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