Encontre uma base de soluções usando o Método de Fröbenius. Tente identificar as séries como expansões em funções conhecidas.
x^2 y^prime prime+2 x^3 y^prime+(x^2-2) y=0

Passo 1

Temos a EDO
x^2 y'' + 2x^3 y' + (x^2 - 2)y = 0
que tem singularidade regular em x=0. Vamos aplicar o método de Frobenius, supondo
y = sumn=0^infty an x^n+r,
com a0neq0 e determinar r e a recorrência para an.

Passo 2

Substituindo as séries na EDO e igualando o menor expoente a zero, obtemos a equação indicial
(r)(r-1)-2=0,
cuja solução é
$$r_1=2,
\quad r_2=-1.$$

Passo 3

Para cada caso de r extraímos a recorrência geral. A comparação de coeficientes gera, para k>=2,
ak = -2k + 2r - 3(k+r)(k+r-1) - 2,ak-2
Em particular:
– Para r=2:
ak = -2k+1k(k+3),ak-2,
com a1=0.
– Para r=-1:
ak = -2k-5k(k-3),ak-2,
com a1=0.

Passo 4

Escolhendo a0=1 em cada caso, as duas séries independentes são
y1(x) = x^2l(1 - tfrac12 x^2 + tfrac9112x^4 - cdotsr),
y2(x) = x^-1l(1 - tfrac12 x^2 + tfrac9112x^4 - cdotsr)

Passo 5

Reconhecemos essas séries como expansões de funções hipergeométricas confluentes. Pode‐se escrever
$$y_1(x)=x2,{}_1F_1\bigl(\tfrac34;\tfrac52;-x2\bigr),\quad
y_2(x)=x{-1},{}_1F_1\bigl(-\tfrac14;\tfrac12;-x2\bigr).$$

Resposta

A solução geral é
y(x)=C_1,y_1(x)+C_2,y_2(x)
com y_1 e y_2 dadas acima.

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