Encontre uma base de soluções usando o Método de Fröbenius. Tente identificar as séries como expansões em funções conhecidas.
Passo 1
Temos a EDO
que tem singularidade regular em x=0. Vamos aplicar o método de Frobenius, supondo
com
e determinar
e a recorrência para
.
Passo 2
Substituindo as séries na EDO e igualando o menor expoente a zero, obtemos a equação indicial
cuja solução é
$$r_1=2,
\quad r_2=-1.$$
Passo 3
Para cada caso de
extraímos a recorrência geral. A comparação de coeficientes gera, para
,
Em particular:
– Para
com
.
– Para :
– Para
com
Passo 4
Escolhendo
em cada caso, as duas séries independentes são
Passo 5
Reconhecemos essas séries como expansões de funções hipergeométricas confluentes. Pode‐se escrever
$$y_1(x)=x2,{}_1F_1\bigl(\tfrac34;\tfrac52;-x2\bigr),\quad
y_2(x)=x{-1},{}_1F_1\bigl(-\tfrac14;\tfrac12;-x2\bigr).$$
Resposta
A solução geral é
y(x)=C_1,y_1(x)+C_2,y_2(x)
com y_1 e y_2 dadas acima.