Encontre uma base de soluções usando o Método de Fröbenius. Tente identificar as séries como expansões em funções conhecidas.
(x+3)^2 y^prime prime-9(x+3) y^prime+25 y=0

Passo 1

Estamos resolvendo a equação , (x+3)^2y'' - 9(x+3)y' + 25y = 0 usando o Método de Fröbenius. O ponto singular regular é em , x=-3, e vamos identificar as soluções em série e reconhecê-las como funções conhecidas.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável , t = x + 3. Como , y=y(x)=Y(t), temos
y' = dYdt, y'' = d^2Ydt^2
A equação vira um tipo de equação de Euler:

Passo 3

Substituindo em termos de , t:
t^2Y'' - 9tY' +25Y = 0
Esse formato pede a suposição de solução do tipo , Y = t^r.

Passo 4

Substituímos , Y=t^r para obter a equação indicial:
r(r-1) -9r +25 = 0 ,Longrightarrow, r^2 -10r +25 = 0 ,Longrightarrow, (r-5)^2 = 0
Logo, temos raiz dupla , r=5.

Passo 5

Para raiz dupla no Método de Frobenius, as duas soluções independentes são
Y1(t)=t^5, Y2(t)=t^5ln t
Reconhecemos essas séries como polinômio e polinômio vezes log.

Passo 6

Voltamos à variável original , x, lembrando que , t=x+3. Assim a base de soluções fica:
y1(x)=(x+3)^5, y2(x)=(x+3)^5ln(x+3)

Resposta

Uma base de soluções é (x+3)^5,,(x+3)^5ln(x+3).

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