Encontre uma base de soluções usando o Método de Fröbenius. Tente identificar as séries como expansões em funções conhecidas.
Passo 1
Estamos resolvendo a equação ,
usando o Método de Fröbenius. O ponto singular regular é em ,
, e vamos identificar as soluções em série e reconhecê-las como funções conhecidas.
Passo 2
Fazemos a mudança de variável ,
. Como ,
, temos
A equação vira um tipo de equação de Euler:
Passo 3
Substituindo em termos de ,
:
Esse formato pede a suposição de solução do tipo ,
Passo 4
Substituímos ,
para obter a equação indicial:
Logo, temos raiz dupla ,
Passo 5
Para raiz dupla no Método de Frobenius, as duas soluções independentes são
Reconhecemos essas séries como polinômio e polinômio vezes log.
Passo 6
Voltamos à variável original ,
, lembrando que ,
. Assim a base de soluções fica:
Resposta
Uma base de soluções é
.