Considere a função f dada por f(x)=x-4x^2-2 x+1.
Esboce o gráfico.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a função $ f(x) = \frac{x - 4}{x^{2} - 2x + 1} $ e precisamos esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções racionais, como encontrar assíntotas, pontos de interseção com os eixos e analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da função $ f(x) $. A expressão $ x^{2} - 2x + 1 $ pode ser fatorada:
f(x)
Então, a função fica:
x^2 - 2x + 1

Passo 3

Agora, vamos identificar as assíntotas da função. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, desde que o numerador não também seja zero nesses pontos.
(x - 1)^2 = 0 implies x = 1
Portanto, temos uma assíntota vertical em $ x = 1 $.

Passo 4

Em seguida, encontramos a assíntota horizontal, analisando o comportamento da função quando $ x $ tende ao infinito. Observamos os graus do numerador e do denominador:
  • Grau do numerador: 1
  • Grau do denominador: 2
Como o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é $ y = 0 $.

Passo 5

Vamos encontrar o ponto de interseção com o eixo $ y $ substituindo $ x = 0 $ na função:
y
Então, a função passa pelo ponto $ (0, -4) $.

Passo 6

Agora, determinamos a interseção com o eixo $ x $ resolvendo $ f(x) = 0 $:
x
Portanto, a função intercepta o eixo $ x $ no ponto $ (4, 0) $.

Passo 7

Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pela assíntota vertical $ x = 1 $:
  • Para $ x < 1 $:
    O denominador é positivo já que está ao quadrado, e o numerador $ x - 4 $ é negativo. Então, $ f(x) $ é negativa.
  • Para $ x > 1 $:
    O denominador continua positivo, e o numerador $ x - 4 $ muda de negativo para positivo quando $ x > 4 $. Assim:
    • Entre $ 1 < x < 4 $: $ f(x) $ é negativa.
    • Para $ x > 4 $: $ f(x) $ é positiva.

Passo 8

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Assíntota vertical em $ x = 1 $.
  • Assíntota horizontal em $ y = 0 $.
  • Passa pelo ponto $ (0, -4) $ e pelo ponto $ (4, 0) $.
  • Comportamento conforme analisado nos intervalos.

Resposta

O gráfico da função $ f(x) = \frac{x - 4}{x^{2} - 2x +1} $ possui uma assíntota vertical em $ x = 1 $, uma assíntota horizontal em $ y = 0 $, intercepta o eixo $ y $ no ponto $ (0, -4) $ e o eixo $ x $ no ponto $ (4, 0) $. O comportamento da função varia conforme os intervalos analisados, resultando no esboço do gráfico conforme descrito nos passos anteriores.

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