(a) Determine k tal que F seja a função de distribuição de uma variável aleatória contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função F(x) definida por partes e precisa achar o valor de k para que F seja uma função de distribuição de uma variável aleatória contínua. Isso está dentro da matéria de Probabilidade e Estatística, mais especificamente sobre funções de distribuição acumulada (FDA). Para resolver, vamos precisar verificar algumas propriedades básicas das funções de distribuição e garantir que tudo se encaixe direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de distribuição acumulada (FDA). Uma FDA, F(x), deve satisfazer três coisas:
Monotonicidade: F(x) deve ser sempre crescente ou constante.
Limites: limx to -infty F(x) = 0 e limx to +infty F(x) = 1.
Continuidade à direita: F(x) deve ser contínua pela direita em todo ponto.
No nosso caso, a função F(x) está definida por partes:
F(x)= 0, & se x<0 x^2, & se 0 <= x<12 log (x+12)+14, & se 12 <= x <= k 1, & se x>k
Precisamos encontrar k tal que F(x) atenda todas essas propriedades.
Passo 3
Vamos analisar a continuidade e a monotonicidade de F(x). Primeiro, verificamos os pontos onde a definição de F(x) muda, ou seja, x=0, x=1/2 e x=k.