Considere a função F dada por
F(x)= 0, & se x<0 x^2, & se 0 <= x<12 log (x+12)+14, & se 12 <= x <= k 1 & se x>k
(a) Determine k tal que F seja a função de distribuição de uma variável aleatória contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função F(x) definida por partes e precisa achar o valor de k para que F seja uma função de distribuição de uma variável aleatória contínua. Isso está dentro da matéria de Probabilidade e Estatística, mais especificamente sobre funções de distribuição acumulada (FDA). Para resolver, vamos precisar verificar algumas propriedades básicas das funções de distribuição e garantir que tudo se encaixe direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de distribuição acumulada (FDA). Uma FDA, F(x), deve satisfazer três coisas:
  1. Monotonicidade: F(x) deve ser sempre crescente ou constante.
  2. Limites: limx to -infty F(x) = 0 e limx to +infty F(x) = 1.
  3. Continuidade à direita: F(x) deve ser contínua pela direita em todo ponto.
No nosso caso, a função F(x) está definida por partes:
F(x)= 0, & se x<0 x^2, & se 0 <= x<12 log (x+12)+14, & se 12 <= x <= k 1, & se x>k
Precisamos encontrar k tal que F(x) atenda todas essas propriedades.

Passo 3

Vamos analisar a continuidade e a monotonicidade de F(x). Primeiro, verificamos os pontos onde a definição de F(x) muda, ou seja, x=0, x=1/2 e x=k.
  • Em x=0:
    • À esquerda: F(x) = 0
    • À direita: F(x) = x^2 = 0
    • Então, F(x) é contínua em x=0
  • Em x=1/2:
    • À esquerda: F(x) = (12)^2 = 14
    • À direita: F(x) = log(12 + 12) + 14 = log(1) + 14 = 0 + 14 = 14
    • Então, F(x) é contínua em x=1/2
  • Em x=k:
    • À esquerda: F(k) = log(k + 12) + 14
    • À direita: F(x) = 1
    • Para F(x) ser contínua em x=k, precisamos que log(k + 12) + 14 = 1

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para encontrar k:
log(k + 12) + 14 = 1
Primeiro, isolamos o logaritmo:
log(k + 12) = 1 - 14 = 34
Agora, para resolver essa equação, vamos lembrar que log aqui está na base e (logaritmo natural). Então:
k + 12 = e^34
Agora, isolamos k:
k = e^34 - 12

Resposta

Portanto, o valor de k que torna F(x) uma função de distribuição de uma variável aleatória contínua é:
k = e^, 34 - 12

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