Num programa de televisão, 15 músicas de diferentes gêneros são distribuidas num quadro com 15 números. Um participante escolhe 3 números. Para cada número, o participante escuta um trecho da música associada. A partir deste trecho o participante deve adivinhar qual é a música. O participante ganha o grande prêmio se acertar as 3 músicas. Um participante sabe que dentre os 15 gêneros de música presentes no programa, ele conhece muito bem 6 e 9 ele conhece muito pouco. Suponha que, se uma determinada música pertence a um gênero que o participante conhece muito bem, então este acerta a música 80 % das vezes. Caso a música seja de um gênero que o participante pouco conhece, este erra a música 60 % das vezes. Dado que o participante errou a primeira música, qual a probabilidade que esta música era de um gênero que o participante conhece muito bem?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um participante de um programa de TV que escolhe 3 números correspondentes a músicas de diferentes gêneros. Ele conhece muito bem 6 desses gêneros e pouco 9. Se ele conhece bem o gênero, tem 80% de chance de acertar a música; se conhece pouco, ele erra 60% das vezes. A pergunta é: dado que ele errou a primeira música, qual é a probabilidade de que essa música fosse de um gênero que ele conhece muito bem?
Aqui, estamos lidando com probabilidade condicional, usando Teorema de Bayes para relacionar as probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos definir alguns eventos:
  • $ G $: A música é de um gênero que o participante conhece muito bem.
  • $ \overline{G} $: A música é de um gênero que o participante conhece pouco.
  • $ E $: O participante erra a música.
Queremos encontrar a probabilidade de a música ser de um gênero que ele conhece muito bem, dado que ele errou: $ P(G | E) $.

Passo 3

Vamos identificar as probabilidades conhecidas:
  • Probabilidade de a música ser de um gênero que ele conhece muito bem: $ P(G) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} $.
  • Probabilidade de a música ser de um gênero que ele conhece pouco: $ P(\overline{G}) = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} $.
  • Probabilidade de errar se conhece bem o gênero: $ P(E | G) = 1 - 0,8 = 0,2 $ (já que acerta 80% das vezes).
  • Probabilidade de errar se conhece pouco o gênero: $ P(E | \overline{G}) = 0,6 $.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes:
P(G | E) = P(E | G) cdot P(G)P(E)
Precisamos calcular $ P(E) $, que é a probabilidade total de errar a música. Isso pode ser feito pela Regra da Probabilidade Total:
P(E)
Substituindo os valores:
P(E) = P(E | G) cdot P(G) + P(E | G) cdot P(G)

Passo 5

Agora, substituímos $ P(E) $ de volta no Teorema de Bayes:
P(E)

Resposta

A probabilidade de que a música estava de um gênero que o participante conhece muito bem, dado que ele errou, é aproximadamente 18,18%.

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