Um industrial considera satisfatório se, no máximo, 8 % das peças produzidas por sua indústria forem defeituosas. Se uma amostra de 200 peças apresentou 12 defeituosas, o industrial pode satisfazer-se com o resultado, ao nível de 5% de significância?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. Um industrial acha que tá tudo certo se, no máximo, 8% das peças que ele produz forem defeituosas. Ele pegou uma amostra de 200 peças e encontrou 12 defeituosas. A questão é: com esse resultado, ele pode se sentir satisfeito ou não, usando um nível de significância de 5%?
Vamos usar estatística inferencial, mais especificamente teste de hipótese para proporções, pra responder isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese Nula (H₀): A proporção de peças defeituosas é no máximo 8%, ou seja, $ p \leq 0,08 $.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A proporção de peças defeituosas é maior que 8%, ou seja, $ p > 0,08 $.
A gente quer ver se há evidências suficientes na amostra para rejeitar a hipótese nula.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra:
p = número de defeituosastamanho da amostra = 12200 = 0,06 ú
Então, a proporção observada é de 6%.

Passo 4

Para realizar o teste, vamos calcular o estatístico de teste usando a fórmula do teste z para proporções:
z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • $ \hat{p} $ é a proporção observada (0,06),
  • $ p_0 $ é a proporção hipotética (0,08),
  • $ n $ é o tamanho da amostra (200).
Vamos substituir os valores:
p

Passo 5

Primeiro, calculamos o denominador:
raiz0,08 times 0,92200 = raiz0,0736200 = raiz0,000368 approx 0,01918
Agora, o numerador:
0,06 - 0,08 = -0,02
Então, o valor de z fica:
z = -0,020,01918 approx -1,042

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor crítico para um teste de uma cauda com nível de significância de 5% (0,05). Olhando na tabela z, o valor crítico é aproximadamente 1,645.
Mas nosso z calculado é -1,042. Como estamos testando $ p > 0,08 $, estamos interessados nos valores de z maiores que 1,645.

Passo 7

Como o z calculado (-1,042) é menor que o valor crítico (1,645) e, na verdade, está do outro lado da distribuição (sendo negativo), não temos evidências para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Com base na amostra de 200 peças com 12 defeituosas e usando um nível de significância de 5%, o industrial pode se satisfazer, já que a proporção de defeituosas observada (6%) não excede o limite aceitável de 8%.

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