Um industrial considera satisfatório se, no máximo,
das peças produzidas por sua indústria forem defeituosas. Se uma amostra de 200 peças apresentou 12 defeituosas, o industrial pode satisfazer-se com o resultado, ao nível de 5% de significância?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. Um industrial acha que tá tudo certo se, no máximo, 8% das peças que ele produz forem defeituosas. Ele pegou uma amostra de 200 peças e encontrou 12 defeituosas. A questão é: com esse resultado, ele pode se sentir satisfeito ou não, usando um nível de significância de 5%?
Vamos usar estatística inferencial, mais especificamente teste de hipótese para proporções, pra responder isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
- Hipótese Nula (H₀): A proporção de peças defeituosas é no máximo 8%, ou seja, $ p \leq 0,08 $.
- Hipótese Alternativa (H₁): A proporção de peças defeituosas é maior que 8%, ou seja, $ p > 0,08 $.
A gente quer ver se há evidências suficientes na amostra para rejeitar a hipótese nula.
Passo 3
Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra:
Então, a proporção observada é de 6%.
Passo 4
Para realizar o teste, vamos calcular o estatístico de teste usando a fórmula do teste z para proporções:
Onde:
- $ \hat{p} $ é a proporção observada (0,06),
- $ p_0 $ é a proporção hipotética (0,08),
- $ n $ é o tamanho da amostra (200).
Vamos substituir os valores:
Passo 5
Primeiro, calculamos o denominador:
Agora, o numerador:
Então, o valor de z fica:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor crítico para um teste de uma cauda com nível de significância de 5% (0,05). Olhando na tabela z, o valor crítico é aproximadamente 1,645.
Mas nosso z calculado é -1,042. Como estamos testando $ p > 0,08 $, estamos interessados nos valores de z maiores que 1,645.
Passo 7
Como o z calculado (-1,042) é menor que o valor crítico (1,645) e, na verdade, está do outro lado da distribuição (sendo negativo), não temos evidências para rejeitar a hipótese nula.
Resposta
Com base na amostra de 200 peças com 12 defeituosas e usando um nível de significância de 5%, o industrial pode se satisfazer, já que a proporção de defeituosas observada (6%) não excede o limite aceitável de 8%.