Considere a função f definida por f(x)=x|x|-x^2+x+|x|.
f é diferenciável em x=0? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se a função f(x)=x|x|-x^2+x+|x| é diferenciável em x=0. O conteúdo envolvido é derivada de funções definidas por partes, e vamos precisar usar a definição de derivada lateral e a forma de f(x) em cada região de sinal de x.

Passo 2

Como o valor absoluto muda conforme o sinal de x, vamos reescrever f(x) em duas partes. Para x>=0 temos |x|=x, então
f(x)=x,x - x^2 + x + x = x^2 - x^2 + 2x = 2x
Para x<0 temos |x|=-x, então
f(x)=x(-x) - x^2 + x + (-x) = -x^2 - x^2 + x - x = -2x^2

Passo 3

Com a forma por partes, calculamos as derivadas laterais em 0:
Para x>0, f(x)=2x implica f'(x)=2, logo f'(0^+)=2.
Para x<0, f(x)=-2x^2 implica f'(x)=-4x, logo f'(0^-)=0.

Passo 4

Como as derivadas laterais não coincidem ( f'(0^-)=0 diferente de f'(0^+)=2), concluímos que f não é diferenciável em x=0.

Resposta

A função não é diferenciável em x=0, pois as derivadas laterais são diferentes: f'(0^-)=0 e f'(0^+)=2.

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