Considere a função
definida por
.
é diferenciável em
? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se a função
é diferenciável em
. O conteúdo envolvido é derivada de funções definidas por partes, e vamos precisar usar a definição de derivada lateral e a forma de
em cada região de sinal de
.
Passo 2
Como o valor absoluto muda conforme o sinal de
, vamos reescrever
em duas partes. Para
temos
, então
Para
temos
, então
Passo 3
Com a forma por partes, calculamos as derivadas laterais em
:
Para ,
implica
, logo
.
Para ,
implica
, logo
.
Para
Para
Passo 4
Como as derivadas laterais não coincidem (
diferente de
), concluímos que
não é diferenciável em
.
Resposta
A função não é diferenciável em
, pois as derivadas laterais são diferentes:
e
.