Determine todos os valores da potência complexa dada: (1+i)^1-i.

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as possíveis determinações de (1+i)^1-i. Aqui o conteúdo é potenciação de número complexo, e vamos precisar usar a definição (z)^w = e^w,Log(z), onde é o logaritmo complexo (multi-valorado) de Log(z).

Passo 2

Primeiro, encontramos o módulo e o argumento (geral) de 1+i. O módulo é
r = |1+i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2,
e o argumento geral é
theta = arg(1+i) = pi4 + 2pi n, n in Z

Passo 3

Logo, o logaritmo complexo de 1+i é

Passo 4

Usando , temos
(1+i)^1-i = e^(1-i),Log(1+i)

Passo 5

Agora expandimos o expoente. Com theta = tfracpi4 + 2pi n,
(1-i)l(ln(raiz2) + ithetar) = (1-i)ln(raiz2) + (1-i)i,theta
Note que
(1-i)ln(raiz2) = ln(raiz2) - iln(raiz2),
e
(1-i)i,theta = itheta + ( - i^2 )theta = itheta + theta = theta + itheta
Somando essas partes, o expoente vira
l(ln(raiz2) + thetar) + il(theta - ln(raiz2)r)

Passo 6

Portanto
(1+i)^1-i = expl(ln(raiz2) + thetar),expl(i(theta - ln(raiz2))r)

Passo 7

Reconhecendo as funções exponencial e trigonométrica, obtemos
(1+i)^1-i = e^ln(raiz2) + thetal[cosl(theta - ln(raiz2)r) + i,sinl(theta - ln(raiz2)r)r], onde theta = tfracpi4 + 2pi n, n in Z.

Resposta

Para todo ninZ, com theta = tfracpi4 + 2pi n, temos
(1+i)^1-i = e^ln(raiz2) + thetal[cosl(theta - ln(raiz2)r) + i,sinl(theta - ln(raiz2)r)r]
Em particular,
e^ln(raiz2) + theta = raiz2,e^tfracpi4 + 2pi n,
então uma forma equivalente é
(1+i)^1-i = raiz2,e^tfracpi4 + 2pi nl[cosl(tfracpi4 + 2pi n - ln(raiz2)r) + isinl(tfracpi4 + 2pi n - ln(raiz2)r)r]

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