Determine todos os valores da potência complexa dada:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as possíveis determinações de
. Aqui o conteúdo é potenciação de número complexo, e vamos precisar usar a definição
, onde é o logaritmo complexo (multi-valorado) de
.
Passo 2
Primeiro, encontramos o módulo e o argumento (geral) de
. O módulo é
e o argumento geral é
Passo 3
Logo, o logaritmo complexo de
é
Passo 4
Usando , temos
Passo 5
Agora expandimos o expoente. Com
,
Note que
e
Somando essas partes, o expoente vira
Passo 6
Portanto
Passo 7
Reconhecendo as funções exponencial e trigonométrica, obtemos
Resposta
Para todo
, com
, temos
Em particular,
então uma forma equivalente é