O enunciado pede para mostrar a regra do produto entre um escalar f e um campo vetorial ao aplicarmos o operador rotacional (curl). O conteúdo aqui é cálculo vetorial: vamos usar a definição de curl em componentes (com o símbolo de Levi-Civita) e a regra do produto de derivadas.
Passo 2
Começamos escrevendo o rotacional de em componentes usando :
Passo 3
Agora aplicamos a regra do produto para :
Passo 4
Substituindo de volta em cada componente, separamos em duas parcelas:
Passo 5
Reconhecendo as componentes, vemos que a primeira parte é f(nablatimesvec F)i e a segunda é (nabla ftimesvec F)i. Assim concluímos a identidade vetorial.
Resposta
nablatimes(fvec F)=f,nablatimesvec F+nabla ftimesvec F.