Mostre que
nabla times(f F)=f nabla times F+nabla f times F.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a regra do produto entre um escalar f e um campo vetorial vec F ao aplicarmos o operador rotacional (curl). O conteúdo aqui é cálculo vetorial: vamos usar a definição de curl em componentes (com o símbolo de Levi-Civita) e a regra do produto de derivadas.

Passo 2

Começamos escrevendo o rotacional de fvec F em componentes usando varepsilonijk:
(nablatimes(fvec F))i =varepsilonijk,partialjl(fFkr)

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto para partialj(fFk):
partialj(fFk) =partialjf;Fk +f;partialjFk

Passo 4

Substituindo de volta em cada componente, separamos em duas parcelas:
(nablatimes(fvec F))i =varepsilonijkl(partialjf;Fk+f;partialjFkr) =underbracevarepsilonijk,f,partialjFkf,(nablatimesvec F)i +underbracevarepsilonijk,(partialjf),Fk(nabla ftimesvec F)i

Passo 5

Reconhecendo as componentes, vemos que a primeira parte é f(nablatimesvec F)i e a segunda é (nabla ftimesvec F)i. Assim concluímos a identidade vetorial.

Resposta

nablatimes(fvec F)=f,nablatimesvec F+nabla ftimesvec F.

Exercícios relacionados