Considere a função f definida por f(x)=x|x|-x^2+x+|x|.
Faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fazermos um esboço do gráfico da função $ f(x) = x|x| - x^{2} + x + |x| $. Para isso, vamos precisar entender como as funções absolutas funcionam e como combinar termos quadráticos e lineares. Vamos dividir a função em partes mais simples para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com os valores absolutos $ |x| $. O valor absoluto de $ x $ depende se $ x $ é positivo ou negativo. Então, vamos separar nossa análise em dois casos: quando $ x \geq 0 $ e quando $ x < 0 $.

Passo 3

Caso 1: $ x \geq 0 $
Quando $ x $ é positivo ou zero, $ |x| = x $. Vamos substituir isso na função:
x >= 0
Então, para $ x \geq 0 $, a função simplifica para $ f(x) = 2x $.

Passo 4

Caso 2: $ x < 0 $
Quando $ x $ é negativo, $ |x| = -x $. Vamos substituir isso na função:
x < 0
Então, para $ x < 0 $, a função simplifica para $ f(x) = -2x^{2} $.

Passo 5

Agora que temos duas expressões simplificadas:
  • Para $ x \geq 0 $: $ f(x) = 2x $ (uma reta crescente)
  • Para $ x < 0 $: $ f(x) = -2x^{2} $ (uma parábola voltada para baixo)
Vamos identificar pontos importantes para cada parte.

Passo 6

Para $ x \geq 0 $:
A função é $ f(x) = 2x $, que é uma linha reta que passa pela origem (0,0) e tem inclinação positiva. À medida que $ x $ aumenta, $ f(x) $ também aumenta.
Para $ x < 0 $:
A função é $ f(x) = -2x^{2} $, que é uma parábola com vértice na origem (0,0) e abre para baixo. Isso significa que essa parte da função sempre estará abaixo ou na origem.

Passo 7

Verifiquemos a continuidade da função em $ x = 0 $:
  • Limite pela direita ($ x \to 0^+ $): $ f(x) = 2x $ → 0
  • Limite pela esquerda ($ x \to 0^- $): $ f(x) = -2x^{2} $ → 0
  • $ f(0) = 0 $
Como os limites se igualam e são iguais ao valor da função, a função é contínua em $ x = 0 $.

Passo 8

Vamos resumir as partes do gráfico:
  • Para $ x < 0 $, temos uma parábola aberta para baixo com vértice na origem.
  • Para $ x \geq 0 $, temos uma linha reta que parte da origem e sobe com inclinação 2.

Passo 9

Agora, juntando as duas partes, o esboço do gráfico será:
  • Para $ x < 0 $: Desenhe uma parábola que desce à medida que $ x $ se afasta de zero.
  • Para $ x \geq 0 $: Desenhe uma linha reta que sobe a partir da origem.
Ambas as partes se encontram suavemente na origem.

Resposta

O gráfico de $ f(x) = x|x| - x^{2} + x + |x| $ é composto por uma parábola voltada para baixo no lado negativo de $ x $ e uma linha reta crescente a partir da origem no lado positivo. Ambos os segmentos se encontram na origem (0,0), formando uma função contínua que desce para $ x < 0 $ e sobe linearmente para $ x \geq 0 $.

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