Mostre que a solução geral para a equação da onda não-homogênea
ut t=c^2 ux x+q(x, t)
é
u(x, t)=F(x+c t)+G(x-c t)+12 c integralT q(r, s) d r d s,
onde F e G são funções arbitrárias de classe C^2 e T é o triângulo de vértices (x-c t, 0),(x+c t, 0) e (x, t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a equação da onda não-homogênea. A gente precisa mostrar que a solução geral dessa equação é dada por:
u(x, t) = F(x + ct) + G(x - ct) + 12c integralT q(r, s) , dr , ds,
onde $ F $ e $ G $ são funções arbitrárias de classe $ C^{2} $ e $ T $ é o triângulo com vértices em $ (x - ct, 0) $, $ (x + ct, 0) $ e $ (x, t) $.
Para isso, vamos seguir passo a passo, explicando cada conceito para deixar tudo bem claro.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a equação da onda. Ela descreve como ondas, como as sonoras ou as do mar, se propagam no espaço e no tempo. A equação geral é:
utt = c^2 uxx + q(x, t),
onde:
  • $ u(x, t) $ representa a posição da onda no ponto $ x $ e no tempo $ t $.
  • $ c $ é a velocidade da onda.
  • $ q(x, t) $ é uma força externa que pode estar agindo sobre a onda.
No nosso caso, a equação não é homogênea por causa do termo $ q(x, t) $, que adiciona uma “força” à onda.

Passo 3

A solução geral da equação da onda homogênea ($ q(x, t) = 0 $) é conhecida como a solução de D’Alembert:
q(x, t) = 0
onde $ F $ e $ G $ são funções arbitrárias que representam ondas viajando para a direita e para a esquerda, respectivamente.
Essas funções são de classe $ C^{2} $, ou seja, são duas vezes diferenciáveis, o que é importante para que todas as derivadas na equação façam sentido.

Passo 4

Agora, como a equação que temos é não-homogênea ($ q(x, t) \neq 0 $), precisamos encontrar uma solução particular, ou seja, uma solução que leve em conta esse termo adicional $ q(x, t) $.
A ideia é somar à solução homogênea uma parte que responda a essa força externa. Isso nos leva à fórmula que inclui uma integral sobre uma região específica $ T $.

Passo 5

Vamos entender o que é essa região $ T $. Ela é um triângulo no plano $ (r, s) $ com vértices em $ (x - ct, 0) $, $ (x + ct, 0) $ e $ (x, t) $.
Esse triângulo representa a área de influência da força $ q(r, s) $ que afeta a posição $ u(x, t) $ no ponto $ x $ e no tempo $ t $. Basicamente, ele delimita quais pontos passados influenciam o estado atual da onda.

Passo 6

Agora, juntando tudo, a solução geral para a equação da onda não-homogênea é a soma da solução homogênea $ F(x + ct) + G(x - ct) $ e da contribuição da força externa, que é dada pela integral:
F(x + ct) + G(x - ct)
Essa integral acumula o efeito de todas as forças $ q(r, s) $ dentro do triângulo $ T $, ponderadas por $ \frac{1}{2c} $, distribuindo assim a influência da força externa na solução da onda.

Resposta

A solução geral para a equação da onda não-homogênea é:
u(x, t) = F(x + ct) + G(x - ct) + 12c integralT q(r, s) , dr , ds,
onde $ F $ e $ G $ são funções arbitrárias de classe $ C^{2} $ e $ T $ é o triângulo de vértices em $ (x - ct, 0) $, $ (x + ct, 0) $ e $ (x, t) $.

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