Mostre que a solução geral para a equação da onda não-homogênea
é
onde
e
são funções arbitrárias de classe
e
é o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a equação da onda não-homogênea. A gente precisa mostrar que a solução geral dessa equação é dada por:
onde $ F $ e $ G $ são funções arbitrárias de classe $ C^{2} $ e $ T $ é o triângulo com vértices em $ (x - ct, 0) $, $ (x + ct, 0) $ e $ (x, t) $.
Para isso, vamos seguir passo a passo, explicando cada conceito para deixar tudo bem claro.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a equação da onda. Ela descreve como ondas, como as sonoras ou as do mar, se propagam no espaço e no tempo. A equação geral é:
onde:
- $ u(x, t) $ representa a posição da onda no ponto $ x $ e no tempo $ t $.
- $ c $ é a velocidade da onda.
- $ q(x, t) $ é uma força externa que pode estar agindo sobre a onda.
No nosso caso, a equação não é homogênea por causa do termo $ q(x, t) $, que adiciona uma “força” à onda.
Passo 3
A solução geral da equação da onda homogênea ($ q(x, t) = 0 $) é conhecida como a solução de D’Alembert:
onde $ F $ e $ G $ são funções arbitrárias que representam ondas viajando para a direita e para a esquerda, respectivamente.
Essas funções são de classe $ C^{2} $, ou seja, são duas vezes diferenciáveis, o que é importante para que todas as derivadas na equação façam sentido.
Passo 4
Agora, como a equação que temos é não-homogênea ($ q(x, t) \neq 0 $), precisamos encontrar uma solução particular, ou seja, uma solução que leve em conta esse termo adicional $ q(x, t) $.
A ideia é somar à solução homogênea uma parte que responda a essa força externa. Isso nos leva à fórmula que inclui uma integral sobre uma região específica $ T $.
Passo 5
Vamos entender o que é essa região $ T $. Ela é um triângulo no plano $ (r, s) $ com vértices em $ (x - ct, 0) $, $ (x + ct, 0) $ e $ (x, t) $.
Esse triângulo representa a área de influência da força $ q(r, s) $ que afeta a posição $ u(x, t) $ no ponto $ x $ e no tempo $ t $. Basicamente, ele delimita quais pontos passados influenciam o estado atual da onda.
Passo 6
Agora, juntando tudo, a solução geral para a equação da onda não-homogênea é a soma da solução homogênea $ F(x + ct) + G(x - ct) $ e da contribuição da força externa, que é dada pela integral:
Essa integral acumula o efeito de todas as forças $ q(r, s) $ dentro do triângulo $ T $, ponderadas por $ \frac{1}{2c} $, distribuindo assim a influência da força externa na solução da onda.
Resposta
A solução geral para a equação da onda não-homogênea é:
onde $ F $ e $ G $ são funções arbitrárias de classe $ C^{2} $ e $ T $ é o triângulo de vértices em $ (x - ct, 0) $, $ (x + ct, 0) $ e $ (x, t) $.