Determine o domínio, os intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de máximo e mínimo local, pontos de inflexão, assíntotas e faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente analisar a função
. A gente vai precisar usar cálculo, principalmente derivadas, pra descobrir o domínio, onde a função cresce ou decresce, a concavidade, os pontos de máximo e mínimo, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como essa é uma função polinomial (não tem denominador que pode ser zero, nem raiz quadrada que exige
), o domínio é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos achar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada
e ver onde ela é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
A derivada de
é:
Vamos igualar
a zero para encontrar os pontos críticos:
Dividindo tudo por -3:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Agora, vamos testar intervalos para ver onde
é positiva ou negativa:
-
Para
, escolha : → Decrescente -
Para
, escolha : → Crescente -
Para
, escolha : → Decrescente
Então:
- Cresce em
- Decresce em
e
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo local. São os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
- Em
, a função muda de decrescente para crescente → Mínimo local - Em
, a função muda de crescente para decrescente → Máximo local
Vamos calcular os valores dessas funções:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos analisar a concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, calculamos a segunda derivada
:
Vamos igualar
a zero para encontrar os possíveis pontos de inflexão:
Vamos testar a sinal da segunda derivada nos intervalos:
-
Para
, escolha : → Concava para cima -
Para
, escolha : → Concava para baixo
Então, temos um ponto de inflexão em
. Vamos calcular
:
Passo 6
Vamos verificar as assíntotas. Como a função é um polinômio de grau 3, não existem assíntotas horizontais ou verticais. Assíntotas oblíquas também não existem porque o grau do numerador é apenas 1 a mais que o denominador (no caso, denominador inexistente).
Passo 7
Por fim, vamos esboçar o gráfico usando todas as informações que obtivemos:
- Domínio:
- Crescente em
- Decrescente em
e - Mínimo local em
- Máximo local em
- Concava para cima em
- Concava para baixo em
- Ponto de inflexão em
- Sem assíntotas
Com tudo isso, dá pra desenhar o gráfico sabendo onde a função sobe, desce, onde tem picos e vales, e a mudança de concavidade.
Resposta
A função
tem domínio em todos os números reais. Ela cresce no intervalo
e decresce em
e
. Possui um mínimo local em
e um máximo local em
. A concavidade é para cima em
e para baixo em
, com um ponto de inflexão em
. Não há assíntotas. O esboço do gráfico reflete essas características, mostrando os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos e a mudança de concavidade.