Determine o domínio, os intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de máximo e mínimo local, pontos de inflexão, assíntotas e faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
f(x)=-x^3+9 x^2-15 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente analisar a função . A gente vai precisar usar cálculo, principalmente derivadas, pra descobrir o domínio, onde a função cresce ou decresce, a concavidade, os pontos de máximo e mínimo, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de Domínio: R para os quais a função está definida. Como essa é uma função polinomial (não tem denominador que pode ser zero, nem raiz quadrada que exige ), o domínio é todos os números reais.
í

Passo 3

Agora, vamos achar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada f'(x) = ddx(-x^3 + 9x^2 - 15x + 2) = -3x^2 + 18x - 15 e ver onde ela é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
A derivada de -3x^2 + 18x - 15 = 0 é:
x^2 - 6x + 5 = 0
Vamos igualar x = 6 pm raiz36 - 202 = 6 pm raiz162 = 6 pm 42 a zero para encontrar os pontos críticos:
x = 6 + 42 = 5
Dividindo tudo por -3:
x = 6 - 42 = 1
Resolvendo a equação quadrática:
f'(0) = -3(0)^2 + 18(0) - 15 = -15 < 0
Então, temos duas soluções:
f'(3) = -3(9) + 18(3) - 15 = -27 + 54 - 15 = 12 > 0
f'(6) = -3(36) + 18(6) - 15 = -108 + 108 - 15 = -15 < 0
Agora, vamos testar intervalos para ver onde é positiva ou negativa:
  • Para , escolha :
    → Decrescente
  • Para , escolha :
    → Crescente
  • Para , escolha :
    → Decrescente
Então:
  • Cresce em
  • Decresce em e

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo local. São os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
  • Em f(1) = -1 + 9 -15 + 2 = -5 , a função muda de decrescente para crescente → Mínimo local
  • Em f(5) = -125 + 225 -75 + 2 = 27 , a função muda de crescente para decrescente → Máximo local
Vamos calcular os valores dessas funções:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos analisar a concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, calculamos a segunda derivada f''(x) = ddx(-3x^2 + 18x - 15) = -6x + 18 :
-6x + 18 = 0
Vamos igualar x = 3 a zero para encontrar os possíveis pontos de inflexão:
f''(2) = -6(2) + 18 = 6 > 0
f''(4) = -6(4) + 18 = -6 < 0
Vamos testar a sinal da segunda derivada nos intervalos:
  • Para f(3) = -27 + 81 -45 + 2 = 11 , escolha :
    → Concava para cima
  • Para , escolha :
    → Concava para baixo
Então, temos um ponto de inflexão em . Vamos calcular :

Passo 6

Vamos verificar as assíntotas. Como a função é um polinômio de grau 3, não existem assíntotas horizontais ou verticais. Assíntotas oblíquas também não existem porque o grau do numerador é apenas 1 a mais que o denominador (no caso, denominador inexistente).
Sem assíntotas í

Passo 7

Por fim, vamos esboçar o gráfico usando todas as informações que obtivemos:
  • Domínio:
  • Crescente em
  • Decrescente em e
  • Mínimo local em
  • Máximo local em
  • Concava para cima em
  • Concava para baixo em
  • Ponto de inflexão em
  • Sem assíntotas
Com tudo isso, dá pra desenhar o gráfico sabendo onde a função sobe, desce, onde tem picos e vales, e a mudança de concavidade.

Resposta

A função tem domínio em todos os números reais. Ela cresce no intervalo e decresce em e . Possui um mínimo local em e um máximo local em . A concavidade é para cima em e para baixo em , com um ponto de inflexão em . Não há assíntotas. O esboço do gráfico reflete essas características, mostrando os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos e a mudança de concavidade.

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