Encontre os valores máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado.
f(x)=x^4-2 x^3 em [-32, 3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função no intervalo . Isso envolve entender conceitos básicos de cálculo, como derivadas para encontrar pontos críticos e depois comparar os valores nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função f'(x) = ddx(x^4) - ddx(2x^3) = 4x^3 - 6x^2 . A derivada nos ajuda a encontrar onde a inclinação da curva é zero, ou seja, onde podemos ter máximos ou mínimos locais.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de 4x^3 - 6x^2 = 0 onde a derivada é zero ou não existe. Esses são os chamados pontos críticos.
Então, resolvemos:
2x^2(2x - 3) = 0
Fatorando:
2x^2 = 0 Rightarrow x = 0
Isso nos dá:
2x - 3 = 0 Rightarrow x = 32
Então, nossos pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, precisamos avaliar a função f(-32) = (-32)^4 - 2(-32)^3 = 8116 - 2(-278) = 8116 + 548 = 8116 + 10816 = 18916 nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo f(0) = 0^4 - 2 cdot 0^3 = 0 , ou seja, em f(32) = (32)^4 - 2(32)^3 = 8116 - 2 cdot 278 = 8116 - 548 = 8116 - 10816 = -2716 e f(3) = 3^4 - 2 cdot 3^3 = 81 - 54 = 27 .
Vamos calcular:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora que temos os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades, vamos identificar qual é o maior e qual é o menor valor.
Temos:
Comparando esses valores:
  • O maior valor é 27 em .
  • O menor valor é aproximadamente -1,69 em .

Resposta

O valor máximo absoluto de no intervalo é 27 em e o valor mínimo absoluto é em .

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