f(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{x^{2}-3 x+2}{x-1}, & \text { se } x \neq 1 \\\\ 2, & \text { se } x=1 \end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá a função definida em \mathbb{R} por
f(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{x^{2}-3 x+2}{x-1}, & \text{ se } x \neq 1,\\[4pt] 2, & \text{ se } x=1. \end{aligned}\right.
Informações relevantes fornecidas:
Para x\neq1 a função é a razão \dfrac{x^{2}-3x+2}{x-1}.
Em x=1 a função toma o valor f(1)=2.
Perguntas que vamos responder (isto é o que normalmente se pede para uma função assim):
Calcular \displaystyle \lim_{x\to1} f(x).
Verificar se f é contínua em x=1.
Simplificar a expressão para x\neq1, classificar o tipo de descontinuidade em x=1 e dizer qual valor atribuir em x=1 para tornar f contínua, se for o caso.]
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão \dfrac{x^{2}-3x+2}{x-1} para x\neq1.
A ideia: fatorar o polinômio do numerador. Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Logo o numerador fatora assim:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Substituindo no quociente, para x\neq1 (ou seja, onde o denominador não é zero) temos
\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}.
Como x-1\neq0 nesse caso, podemos cancelar o fator x-1 e obter a forma simplificada
f(x)=x-2\qquad\text{para }x\neq1.
Explicação didática (por que isso é válido): cancelar um fator comum entre numerador e denominador é permitido desde que o fator não seja zero — por isso insistimos que isso vale apenas para x\neq1. Mesmo que a expressão simplificada seja um polinômio definido em todo \mathbb{R}, a função original pode ter um ponto especial em x=1 porque ali a definição foi dada explicitamente como 2.
Passo 3
Agora calculamos o limite \displaystyle \lim_{x\to1} f(x).
Como para todos os x próximos de 1 (exceto x=1 em si) vale f(x)=x-2, a função que nos interessa quando aproximamos x de 1 é a função polinomial x-2. Polinômios são contínuos em todo ponto, então o limite quando x\to1 é simplesmente o valor do polinômio em x=1. Portanto:
\lim_{x\to1} f(x)=\lim_{x\to1}(x-2)=1-2=-1.
Pequena lembrança teórica: a definição informal de limite é que os valores de f(x) quando x se aproxima de 1 (mas x\neq1) ficam arbitrariamente próximos de -1. Aqui o limite existe e é finito.
Passo 4
Comparação entre o limite e o valor da função no ponto:
Encontramos \displaystyle \lim_{x\to1} f(x)=-1.
O enunciado dá f(1)=2.
Para que f fosse contínua em x=1 seria necessário que os três itens a seguir coincidissem: (i) f(1) existisse; (ii) \lim_{x\to1} f(x) existisse; (iii) os dois fossem iguais. Aqui (i) existe e vale 2; (ii) existe e vale -1; porém (iii) não ocorre pois 2\neq-1. Conclusão: f não é contínua em x=1.
Classificação da descontinuidade: como o limite lateral existe e é finito (igual a -1), mas o valor da função no ponto é diferente, esta é uma descontinuidade removível. Significa que basta redefinir o valor de f em x=1 para o valor do limite para “remover” a descontinuidade.
Se redefinirmos
\tilde f(1)=-1
e deixarmos \tilde f(x)=f(x) para x\neq1, então \tilde f será contínua em x=1.
Passo 5
Conclusões sobre continuidade em toda a reta:
Para x\neq1 a função coincide com o polinômio x-2, que é contínuo em todo \mathbb{R}. Logo f é contínua em \mathbb{R}\setminus\{1\}.
Em x=1 há uma descontinuidade removível, pois \displaystyle \lim_{x\to1} f(x)=-1 mas f(1)=2.
Exemplo parecido para fixar a ideia: a função g(x)=\dfrac{\sin x}{x} tem forma indeterminada em x=0 mas \lim_{x\to0} g(x)=1; se definíssemos g(0)=1 obteríamos continuidade em 0. É o mesmo tipo de situação: limite existe mas o valor no ponto precisa ser ajustado.
Resposta
\displaystyle \lim_{x\to1} f(x)=-1 f não é contínua em x=1; a descontinuidade em x=1 é removível.
Para x\neq1 tem-se f(x)=x-2. Definindo f(1)=-1 a função fica contínua em 1.