Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função f é contínua: f(x)=\left\{\begin{array}{rll}\operatorname{sen}\left(x^{2}-4\right), & \text { se } & x>2, \\\ x^{2}+x-6, & \text { se } & x<2, \\\\ 0, & \text { se } & x=2 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado define a função por partes e pede: determinar o conjunto dos pontos do domínio em que f é contínua.
Informações dadas:
Para x>2 tem-se f(x)=\sin\!\bigl(x^{2}-4\bigr).
Para x<2 tem-se f(x)=x^{2}+x-6.
Para x=2 tem-se f(2)=0.
O domínio da função é todo o conjunto dos números reais, pois estão especificadas as três situações x<2, x=2 e x>2.
Passo 2
Definição prática de continuidade que usaremos: uma função g é contínua em um ponto a se \lim_{x\to a} g(x)=g(a). Para funções por partes é comum verificar:
continuidade em pontos internos de cada ramo (aqui: quaisquer x>2 e quaisquer x<2), e
continuidade no ponto de união dos ramos (aqui: x=2), verificando os limites laterais.
Vou primeiro tratar pontos estritamente maiores que 2 e estritamente menores que 2.
Passo 3
Continuidade para x<2: a expressão é f(x)=x^{2}+x-6.
Explicação didática: polinômios são funções construídas por soma e produto de x e constantes. Esses tipos de operações preservam continuidade, logo qualquer polinômio é contínuo em todo \mathbb{R}. Assim, para todo a<2 vale
Continuidade para x>2: a expressão é f(x)=\sin\!\bigl(x^{2}-4\bigr).
Explicação didática: a função \sin é contínua em todo ponto real, e a função interna x\mapsto x^{2}-4 é um polinômio, logo contínua. A composição de funções contínuas é contínua. Portanto, para todo a>2,