Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função f é contínua:
f(x)=\left\{\begin{array}{rll}\operatorname{sen}\left(x^{2}-4\right), & \text { se } & x>2, \\\ x^{2}+x-6, & \text { se } & x<2, \\\\ 0, & \text { se } & x=2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes e pede: determinar o conjunto dos pontos do domínio em que f é contínua.
Informações dadas:
  • Para x>2 tem-se f(x)=\sin\!\bigl(x^{2}-4\bigr).
  • Para x<2 tem-se f(x)=x^{2}+x-6.
  • Para x=2 tem-se f(2)=0.
O domínio da função é todo o conjunto dos números reais, pois estão especificadas as três situações x<2, x=2 e x>2.

Passo 2

Definição prática de continuidade que usaremos: uma função g é contínua em um ponto a se \lim_{x\to a} g(x)=g(a). Para funções por partes é comum verificar:
  • continuidade em pontos internos de cada ramo (aqui: quaisquer x>2 e quaisquer x<2), e
  • continuidade no ponto de união dos ramos (aqui: x=2), verificando os limites laterais.
Vou primeiro tratar pontos estritamente maiores que 2 e estritamente menores que 2.

Passo 3

Continuidade para x<2: a expressão é f(x)=x^{2}+x-6.
Explicação didática: polinômios são funções construídas por soma e produto de x e constantes. Esses tipos de operações preservam continuidade, logo qualquer polinômio é contínuo em todo \mathbb{R}. Assim, para todo a<2 vale
\lim_{x\to a}\bigl(x^{2}+x-6\bigr)=a^{2}+a-6=f(a),
portanto f é contínua em todo ponto com x<2.

Passo 4

Continuidade para x>2: a expressão é f(x)=\sin\!\bigl(x^{2}-4\bigr).
Explicação didática: a função \sin é contínua em todo ponto real, e a função interna x\mapsto x^{2}-4 é um polinômio, logo contínua. A composição de funções contínuas é contínua. Portanto, para todo a>2,
\lim_{x\to a}\sin\!\bigl(x^{2}-4\bigr)=\sin\!\bigl(a^{2}-4\bigr)=f(a),
logo f é contínua em todo ponto com x>2.

Passo 5

Agora falta verificar a continuidade no ponto crítico x=2. Para isso precisamos das duas limites laterais e do valor f(2).
Calcular o limite pela direita ( x\to2^{+}):
\lim_{x\to2^{+}} f(x)=\lim_{x\to2^{+}}\sin\!\bigl(x^{2}-4\bigr).
Observação: x^{2}-4 tende a 2^{2}-4=0 quando x\to2. Como \sin é contínua em 0, pode-se passar o limite para dentro:
\lim_{x\to2^{+}}\sin\!\bigl(x^{2}-4\bigr)=\sin\!\bigl(\lim_{x\to2^{+}}(x^{2}-4)\bigr)=\sin(0)=0.

Passo 6

Calcular o limite pela esquerda ( x\to2^{-}):
\lim_{x\to2^{-}} f(x)=\lim_{x\to2^{-}}\bigl(x^{2}+x-6\bigr).
Como o polinômio é contínuo, basta avaliar em x=2:
\lim_{x\to2^{-}}\bigl(x^{2}+x-6\bigr)=2^{2}+2-6=4+2-6=0.

Passo 7

Comparando as três quantidades em x=2:
  • \displaystyle\lim_{x\to2^{+}} f(x)=0,
  • \displaystyle\lim_{x\to2^{-}} f(x)=0,
  • f(2)=0.
Como os limites laterais existem, coincidem entre si e coincidem com o valor da função em 2, conclui-se que f é contínua em x=2.

Passo 8

Juntando tudo: f é contínua para todos os x<2, para todos os x>2 e também em x=2. Logo f é contínua em todo o domínio, isto é, em todo \mathbb{R}.

Resposta

\mathbb{R}

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