Usando a definição de derivada, determine
, em cada item:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
em
usando a definição de derivada, onde
- A função dada é
. - O ponto onde queremos a derivada é
(ou seja, queremos a derivada em um ponto genérico ).
O que se pede exatamente: determinar
usando a definição limite da derivada, sem assumir fórmulas prontas.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de derivada no ponto
. A derivada de
em
é
quando esse limite existir.
Explicação curta e intuitiva: isso mede a taxa de variação média de
entre
e
, fazendo
ficar cada vez menor até 0; geometricamente é a inclinação da reta tangente ao gráfico em
.
Passo 3
Aplicando a definição à nossa função
, escrevemos
Agora vamos manipular a diferença
usando a fórmula da soma de senos.
Passo 4
A identidade trigonométrica que usamos é
Aplicando com
e
, obtemos
Substituindo na diferença:
Passo 5
Colocamos isso sobre
e separamos os termos:
Agora tomamos limite quando
:
Passo 6
Usamos propriedades de limites para separar:
desde que ambos os limites existam. Vamos calcular esses dois limites clássicos.
Passo 7
Primeiro, o limite bem conhecido é
Razoável ver isso por um argumento geométrico ou série de Taylor; aqui aceitamos este limite como padrão (é um limite fundamental em análise/trigonometria).
Segundo, para calcular
, usamos a identidade
Então
À medida que
, tem-se
, logo o fator total tende a
. Portanto
(Alternativa: também pode-se usar a expansão em série
, que dá o mesmo resultado.)
Passo 8
Substituindo os limites encontrados em
:
Isso mostra, via definição, que a derivada de
no ponto
é
.
Passo 9
Como no enunciado foi dado
(ou seja, queremos a derivada em um ponto genérico
), a expressão fica simplesmente
. Força aí — é uma das derivadas mais úteis e vai aparecer muito nas provas!