Usando a definição de derivada, determine f^{\prime}\left(x_{0}\right), em cada item:
f(x)=\operatorname{sen}(x), \quad x_{0}=x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f em x_{0} usando a definição de derivada, onde
  • A função dada é f(x)=\sin(x).
  • O ponto onde queremos a derivada é x_{0}=x (ou seja, queremos a derivada em um ponto genérico x).
O que se pede exatamente: determinar f^{\prime}\left(x_{0}\right) usando a definição limite da derivada, sem assumir fórmulas prontas.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de derivada no ponto x_{0}. A derivada de f em x_{0} é
f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h},
quando esse limite existir.
Explicação curta e intuitiva: isso mede a taxa de variação média de f entre x_{0} e x_{0}+h, fazendo h ficar cada vez menor até 0; geometricamente é a inclinação da reta tangente ao gráfico em x_{0}.

Passo 3

Aplicando a definição à nossa função f(x)=\sin(x), escrevemos
f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x_{0}+h)-\sin(x_{0})}{h}.
Agora vamos manipular a diferença \sin(x_{0}+h)-\sin(x_{0}) usando a fórmula da soma de senos.

Passo 4

A identidade trigonométrica que usamos é
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.
Aplicando com a=x_{0} e b=h, obtemos
\sin(x_{0}+h)=\sin(x_{0})\cos(h)+\cos(x_{0})\sin(h).
Substituindo na diferença:
\sin(x_{0}+h)-\sin(x_{0})=\sin(x_{0})\bigl(\cos(h)-1\bigr)+\cos(x_{0})\sin(h).

Passo 5

Colocamos isso sobre h e separamos os termos:
\frac{\sin(x_{0}+h)-\sin(x_{0})}{h} = \sin(x_{0})\cdot\frac{\cos(h)-1}{h} + \cos(x_{0})\cdot\frac{\sin(h)}{h}.
Agora tomamos limite quando h\to0:
f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to 0}\left[\sin(x_{0})\cdot\frac{\cos(h)-1}{h} + \cos(x_{0})\cdot\frac{\sin(h)}{h}\right].

Passo 6

Usamos propriedades de limites para separar:
f^{\prime}(x_{0})=\sin(x_{0})\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} \;+\; \cos(x_{0})\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h},
desde que ambos os limites existam. Vamos calcular esses dois limites clássicos.

Passo 7

Primeiro, o limite bem conhecido é
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}=1.
Razoável ver isso por um argumento geométrico ou série de Taylor; aqui aceitamos este limite como padrão (é um limite fundamental em análise/trigonometria).
Segundo, para calcular
\lim_{h\to 0}\dfrac{\cos(h)-1}{h}, usamos a identidade
\cos(h)-1 = -2\sin^{2}\!\left(\frac{h}{2}\right).
Então
\frac{\cos(h)-1}{h} = -2\cdot\frac{\sin^{2}\!\left(\tfrac{h}{2}\right)}{h} = -2\left(\frac{\sin\!\left(\tfrac{h}{2}\right)}{\tfrac{h}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{h}{4}.
À medida que h\to 0, tem-se \dfrac{\sin(h/2)}{h/2}\to 1, logo o fator total tende a -2\cdot 1^{2}\cdot 0 = 0. Portanto
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0.
(Alternativa: também pode-se usar a expansão em série \cos h = 1 - \tfrac{h^{2}}{2}+o(h^{2}), que dá o mesmo resultado.)

Passo 8

Substituindo os limites encontrados em f^{\prime}(x_{0}):
f^{\prime}(x_{0})=\sin(x_{0})\cdot 0 + \cos(x_{0})\cdot 1 = \cos(x_{0}).
Isso mostra, via definição, que a derivada de \sin no ponto x_{0} é \cos(x_{0}).

Passo 9

Como no enunciado foi dado x_{0}=x (ou seja, queremos a derivada em um ponto genérico x), a expressão fica simplesmente f^{\prime}(x)=\cos(x). Força aí — é uma das derivadas mais úteis e vai aparecer muito nas provas!

Resposta

f^{\prime}(x)=\cos(x)

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