Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função f é contínua:
f(x)=\left\{\begin{array}{rll}\frac{1}{x-1}, & \text { se } & x \neq 1, \\\\ 0, & \text { se } & x=1 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto dos pontos do domínio em que a função f\) é contínua. A função é dada por \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x-1}, & \text{se } x\neq 1,\\[6pt] 0, & \text{se } x=1. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição de f\] fornece um valor explícito para todo \(x\neq 1 e também um valor em x=1.
  • O objetivo é identificar todos os pontos a\in\mathbb{R} tais que f é contínua em a.]

Passo 2

Primeiro vamos determinar o domínio de f. A parte \dfrac{1}{x-1} não está definida em x=1, mas o enunciado define explicitamente f(1)=0. Portanto a função tem valor definido para todo x\in\mathbb{R}. Conclusão:
\text{o domínio de } f \text{ é } \mathbb{R}.íé

Passo 3

Lembrando a definição de continuidade num ponto: uma função f é contínua em a se, e somente se,
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Aqui \lim_{x\to a} f(x) significa o valor que f(x) se aproxima quando x se aproxima de a (pela esquerda e pela direita). Se essa limite existir e for igual ao valor atribuído f(a), então f é contínua em a. Caso contrário, f é descontínua em a.

Passo 4

Verificação da continuidade em pontos a com a\neq 1.
Escolha um a\in\mathbb{R} tal que a\neq 1. Para x próximo de a (mas x\neq 1 se necessário) vale f(x)=\dfrac{1}{x-1}. Intuitivamente, funções do tipo \dfrac{1}{x-1} são contínuas em qualquer ponto onde o denominador não se anula. Vou mostrar isso de forma elementar com um argumento \varepsilon- \delta simples, para ficar bem claro como justificar numa prova ou numa prova de prova:
Queremos mostrar que \lim_{x\to a}\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{a-1}. Considere a diferença
\left|\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{a-1}\right| = \left|\dfrac{a-x}{(x-1)(a-1)}\right| = \dfrac{|x-a|}{|x-1|\,|a-1|}.
Como a\neq 1, temos |a-1|>0. Escolha \delta_1=\dfrac{|a-1|}{2}. Se tomarmos 0<|x-a|<\delta_1, então por desigualdade triangular
|x-1| \ge |a-1| - |x-a| > |a-1| - \frac{|a-1|}{2} = \frac{|a-1|}{2}.
Portanto, sob a condição 0<|x-a|<\delta_1,
\left|\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{a-1}\right| \le \dfrac{|x-a|}{\dfrac{|a-1|}{2}\,|a-1|} = \dfrac{2}{|a-1|^{2}}\,|x-a|.
Dado qualquer \varepsilon>0, escolha
\delta = \min\!\left(\frac{|a-1|}{2},\; \frac{|a-1|^{2}}{2}\,\varepsilon\right).
Então, se 0<|x-a|<\delta, obtemos
\left|\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{a-1}\right| < \varepsilon.
Isto prova que \lim_{x\to a}\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{a-1}. Como f(a)=\dfrac{1}{a-1} para a\neq 1, segue que f é contínua em todo a\neq 1.
Comentário prático: em provas de sala, vale dizer que \dfrac{1}{x-1} é uma função racional e é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero — isso resume o que acabamos de demonstrar detalhadamente.

Passo 5

Verificação da continuidade em a=1.
Precisamos checar se \lim_{x\to 1} f(x)=f(1). Para x próximo de 1 (e x\neq 1) temos f(x)=\dfrac{1}{x-1}. Vamos observar os limites laterais.
  • Limite pela direita:
\lim_{x\to 1^+} \dfrac{1}{x-1} = +\infty,
porque quando x>1 e x\to 1 temos x-1\to 0^+ e 1/(x-1) cresce sem limite.
  • Limite pela esquerda:
\lim_{x\to 1^-} \dfrac{1}{x-1} = -\infty,
porque quando x<1 e x\to 1 temos x-1\to 0^- e 1/(x-1) vai para -\infty.
Como os limites laterais não são finitos (nem iguais entre si), o limite \lim_{x\to 1} \dfrac{1}{x-1} não existe como número real. Logo não existe \lim_{x\to 1} f(x) finito que pudesse ser comparado com f(1). Em particular não é verdade que \lim_{x\to 1} f(x)=f(1)=0. Portanto f é descontínua em x=1.

Passo 6

Conclusão: juntando os resultados dos passos anteriores, f é contínua em todo ponto a\in\mathbb{R} com a\neq 1 e é descontínua em a=1. Em notação de conjuntos, o conjunto dos pontos de continuidade é
\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Força aí — é um clássico: foi difícil no começo, mas a ideia principal é sempre verificar os pontos onde a expressão pode “dar problema” (aqui o denominador zero) e checar limites laterais quando necessário.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{1\}

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