Considere a função f definida pela regra f(x)=x^4-2 raizln x, para x >= 2.
Mostre que f é estritamente crescente.

Passo 1

O enunciado define a função f por f(x)=x^4-2raizln x para x>=2. O conteúdo é teste de monotonicidade via derivada, e vamos precisar calcular f'(x) e mostrar que ela é positiva no domínio.

Passo 2

Calculamos a derivada usando regras de potência e cadeia. Primeiro note que
ddxl(x^4r)=4x^3
e
ddxl(2raizln xr)=2cdot12raizln xcdot1x=1xraizln x
Assim
f'(x)=4x^3-1xraizln x

Passo 3

Para mostrar que f'(x)>0 quando x>=2, basta estimar cada termo. Para x>=2 temos 4x^3>=4cdot2^3=32 e
1xraizln x<=12raizln2approx0,60
Logo
f'(x)>=32-0,60>0,
o que prova que f'(x) é estritamente positiva em [2,infty). Portanto f é estritamente crescente.

Passo 4

Como a derivada de f é positiva em todo o domínio [2,infty), concluímos que f é estritamente crescente.

Resposta

A derivada é sempre positiva em [2,infty), logo f é estritamente crescente.

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