Considere a função
definida pela regra
, para
.
Mostre que
é estritamente crescente.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define a função
por
para
. O conteúdo é teste de monotonicidade via derivada, e vamos precisar calcular
e mostrar que ela é positiva no domínio.
Passo 2
Calculamos a derivada usando regras de potência e cadeia. Primeiro note que
e
Assim
Passo 3
Para mostrar que
quando
, basta estimar cada termo. Para
temos
e
Logo
o que prova que
é estritamente positiva em
. Portanto
é estritamente crescente.
Passo 4
Como a derivada de
é positiva em todo o domínio
, concluímos que
é estritamente crescente.
Resposta
A derivada é sempre positiva em
, logo f é estritamente crescente.