Dada uma função f definida em um domínio D, que ferramentasmatemáticas são usadas para se determinar o comportamento do gráfico de uma função? Em outras palavras, como as derivadas de f influenciam no gráfico? Usando estas informações, esboçe um possível gráfico de uma função que satisfaz
  • f^prime(x)>0 se |x|<2, f^prime(x)<0 se |x|>2 ;
  • f^prime(-2)=0, lim x 2|f^prime(x)|=infty;
  • f^prime prime(x)>0 se |x| neq 2.

Passo 1

A ideia geral é usar as derivadas de primeira e segunda ordem para entender, respectivamente, a monotonicidade (onde a função sobe ou desce) e a concavidade (formato de “∪” ou “∩”) do gráfico de f.

Passo 2

Monotonicidade (derivada primeira):
Para saber onde f cresce ou decresce, aplicamos:
– Se f'(x)>0, f é crescente naquele ponto ou intervalo.
– Se f'(x)<0, f é decrescente.
– Pontos críticos ocorrem onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não existe. Esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de não diferenciação.

Passo 3

Concavidade (derivada segunda):
– Se f''(x)>0, o gráfico é côncavo para cima (forma de “∪”).
– Se f''(x)<0, é côncavo para baixo (forma de “∩”).
– Pontos de inflexão são onde f''(x) muda de sinal.

Passo 4

Aplicando as condições:
– Para |x|<2, f'(x)>0 ⇒ f cresce no intervalo (-2,2).
– Para |x|>2, f'(x)<0 ⇒ f decresce fora de [-2,2].
– Em x=-2, f'(-2)=0 e f' muda de negativa (à esquerda) para positiva (à direita) ⇒ mínimo local em x=-2.
– Em x=2, limxto2^-f'(x)=+infty e limxto2^+f'(x)=-infty ⇒ tangente vertical em x=2 e troca de subida para descida (máximo cuspificado).
– Como f''(x)>0 para |x|neq2, o gráfico é côncavo para cima em todo lugar onde a derivada segunda exista.

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico:
– Para x<-2: f decresce e é côncava para cima até chegar em x=-2.
– Em x=-2: mínimo local, tangente horizontal.
– De -2 a 2: f cresce e continua côncava para cima; ao se aproximar de 2 a inclinação dispara para +∞ (tangente vertical de subida).
– Em x=2: tangente vertical. A função não toca a reta vertical, mas o gráfico “vira” e passa a descer.
– Para x>2: f decresce e permanece côncava para cima, com inclinação que sai de -∞ e aumenta (menos negativa) à medida que x cresce.

Resposta

Um possível esboço qualitativo de f é: decrescente e côncavo para cima até x=–2, mínimo local em x=–2 com tangente horizontal, depois crescente e côncavo para cima até x=2 com tangente vertical de subida, em x=2 ocorre o “pico cuspificado” (troca de crescente para decrescente), e para x>2 decresce côncavo para cima a partir de tangente vertical de descida.

Exercícios relacionados