Dada uma função
definida em um domínio
, que ferramentasmatemáticas são usadas para se determinar o comportamento do gráfico de uma função? Em outras palavras, como as derivadas de
influenciam no gráfico? Usando estas informações, esboçe um possível gráfico de uma função que satisfaz
-
se
se
-
;
-
se
.
Passo 1
A ideia geral é usar as derivadas de primeira e segunda ordem para entender, respectivamente, a monotonicidade (onde a função sobe ou desce) e a concavidade (formato de “∪” ou “∩”) do gráfico de f.
Passo 2
Monotonicidade (derivada primeira):
Para saber onde f cresce ou decresce, aplicamos:
Para saber onde f cresce ou decresce, aplicamos:
– Se
, f é crescente naquele ponto ou intervalo.
– Se , f é decrescente.
– Pontos críticos ocorrem onde ou onde
não existe. Esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de não diferenciação.
– Se
– Pontos críticos ocorrem onde
Passo 3
Concavidade (derivada segunda):
– Se
, o gráfico é côncavo para cima (forma de “∪”).
– Se , é côncavo para baixo (forma de “∩”).
– Pontos de inflexão são onde muda de sinal.
– Se
– Pontos de inflexão são onde
Passo 4
Aplicando as condições:
– Para
,
⇒ f cresce no intervalo
.
– Para ,
⇒ f decresce fora de
.
– Em ,
e
muda de negativa (à esquerda) para positiva (à direita) ⇒ mínimo local em
.
– Em ,
e
⇒ tangente vertical em
e troca de subida para descida (máximo cuspificado).
– Como para
, o gráfico é côncavo para cima em todo lugar onde a derivada segunda exista.
– Para
– Em
– Em
– Como
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico:
– Para
: f decresce e é côncava para cima até chegar em
.
– Em : mínimo local, tangente horizontal.
– De a
: f cresce e continua côncava para cima; ao se aproximar de
a inclinação dispara para +∞ (tangente vertical de subida).
– Em : tangente vertical. A função não toca a reta vertical, mas o gráfico “vira” e passa a descer.
– Para : f decresce e permanece côncava para cima, com inclinação que sai de -∞ e aumenta (menos negativa) à medida que x cresce.
– Em
– De
– Em
– Para
Resposta
Um possível esboço qualitativo de f é: decrescente e côncavo para cima até x=–2, mínimo local em x=–2 com tangente horizontal, depois crescente e côncavo para cima até x=2 com tangente vertical de subida, em x=2 ocorre o “pico cuspificado” (troca de crescente para decrescente), e para x>2 decresce côncavo para cima a partir de tangente vertical de descida.