Explico porque isso ajuda: séries de potências \sum a_n z^n têm um raio de convergência R que determina todos os z com |z|<R onde a série converge. Depois testamos os pontos com |z|=R (os “extremos”).
Passo 3
Vamos encontrar o raio de convergência usando o teste da raiz (root test) aplicado à série em z.
O teste da raiz diz: para a série \sum a_n z^n considere
L=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n z^n|}.
Se L<1 a série converge, se L>1 diverge, e se L=1 é inconclusivo (precisamos testar os extremos).
No nosso caso
Calculo o limite superior (aqui o limite existe):
Observação técnica: (n+1)^{-2/n}=\exp\!\big(-\tfrac{2}{n}\ln(n+1)\big). Como \tfrac{\ln(n+1)}{n}\to 0 quando n\to\infty, segue que
Fazendo a mudança de índice k=n+1 isso é exatamente a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}},
que é uma série p-com p=2. Lembrete do teste p: a série \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^{p}} converge se e somente se p>1. Como 2>1, essa série converge. Logo a série original converge em x=0. Na verdade converge absolutamente quando 2x+1=1 pois os termos em valor absoluto são \frac{1}{(n+1)^2} e somam para um valor finito.
Passo 6
Testando o extremo x=-1:
Se x=-1 então 2x+1=-1 e a série vira
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1)^{2}}.
Podemos verificar convergência absoluta: tomando valor absoluto dos termos obtemos a mesma série do caso anterior,