Considere a função f definida pela série dada a seguir:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 x+1)^{n}}{(n+1)^{2}}
Ache o domínio da função f.

Passo 1

O enunciado fornece a função f definida pela série
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 x+1)^{n}}{(n+1)^{2}}.
A pergunta é: “Qual é o domínio da função f?”.
Informações dadas relevantes:
  • A série é uma soma infinita indexada por n.
  • Cada termo é \dfrac{(2x+1)^n}{(n+1)^2}.
  • Precisamos decidir para quais valores de x essa série converge (ou seja, para quais x a soma faz sentido).

Passo 2

Uma ideia útil: tratar a série como uma série de potências em torno de uma variável z definida por
z = 2x+1.
Então a série fica no formato padrão
\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n \quad\text{com}\quad a_n=\frac{1}{(n+1)^2}.
Explico porque isso ajuda: séries de potências \sum a_n z^n têm um raio de convergência R que determina todos os z com |z|<R onde a série converge. Depois testamos os pontos com |z|=R (os “extremos”).

Passo 3

Vamos encontrar o raio de convergência usando o teste da raiz (root test) aplicado à série em z.
O teste da raiz diz: para a série \sum a_n z^n considere
L=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n z^n|}.
Se L<1 a série converge, se L>1 diverge, e se L=1 é inconclusivo (precisamos testar os extremos).
No nosso caso
\sqrt[n]{\left|\frac{(2x+1)^n}{(n+1)^2}\right|} =|2x+1|\cdot (n+1)^{-2/n}.

Passo 4

Calculo o limite superior (aqui o limite existe):
Observação técnica: (n+1)^{-2/n}=\exp\!\big(-\tfrac{2}{n}\ln(n+1)\big). Como \tfrac{\ln(n+1)}{n}\to 0 quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty} (n+1)^{-2/n} = 1.
Portanto
L=\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left|\frac{(2x+1)^n}{(n+1)^2}\right|} = |2x+1|\cdot 1 = |2x+1|.
Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente quando
|2x+1|<1,
e diverge quando
|2x+1|>1.
A desigualdade |2x+1|<1 equivale a
-1<2x+1<1 \quad\Longrightarrow\quad -1<x<0.
Então já sabemos que a série converge para x em (-1,0) e diverge fora do intervalo [-1,0]. Falta analisar os extremos x=-1 e x=0.

Passo 5

Testando o extremo x=0:
Se x=0 então 2x+1=1 e a série vira
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1^{n}}{(n+1)^{2}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}}.
Fazendo a mudança de índice k=n+1 isso é exatamente a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}},
que é uma série p-com p=2. Lembrete do teste p: a série \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^{p}} converge se e somente se p>1. Como 2>1, essa série converge. Logo a série original converge em x=0. Na verdade converge absolutamente quando 2x+1=1 pois os termos em valor absoluto são \frac{1}{(n+1)^2} e somam para um valor finito.

Passo 6

Testando o extremo x=-1:
Se x=-1 então 2x+1=-1 e a série vira
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1)^{2}}.
Podemos verificar convergência absoluta: tomando valor absoluto dos termos obtemos a mesma série do caso anterior,
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{2}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}},
que converge. Convergência absoluta implica convergência. Portanto a série converge também em x=-1.

Passo 7

Juntando tudo:
  • converge para -1<x<0 por teste da raiz;
  • converge em x=0 e em x=-1 (ambos por serem casos de p-série com p=2, ou por convergência absoluta);
  • diverge para |2x+1|>1.
    Concluímos que o conjunto de todos os x onde a série converge é o intervalo fechado
[-1,0].

Resposta

[-1,0]

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