Sejam m, r \in \mathbb{N} dois naturais positivos dados. Ache uma fórmula (usando o teste da razão) para o raio de convergência de uma série de potências da forma
\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{m n+r} .
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{m n+r}
com m,r\in\mathbb{N} fixos e positivos, e pede: achar uma fórmula, usando o teste da razão, para o raio de convergência dessa série. Informações relevantes que temos:
Os coeficientes são \{c_n\}_{n\ge0} (sequência complexa ou real).
A potência de x só aparece nas potências m n+r (ou seja, termos x^{r},x^{m+r},x^{2m+r},\dots).
Queremos o raio de convergência em termos dos c_n, usando o teste da razão (ou sua versão com limsup se for necessário).
Não se resolve nada neste passo; apenas identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Primeira ideia simples e importante: o fator x^{r} não afeta o raio de convergência — ele só multiplica a série por uma potência fixa de x. Para trabalhar com uma forma padrão de série de potências, faço a substituição
Portanto a questão reduz-se a: para a série padrão \sum_{n=0}^{\infty} c_n y^{n} qual é o raio de convergência em y? Depois voltamos para x pela relação y=x^{m}.
Passo 3
Vou recordar e explicar o teste da razão (de forma didática). Para uma série numérica ou complexa \sum a_n, se o limite
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
existe e vale L, então:
se L<1 a série converge absolutamente;
se L>1 a série diverge;
se L=1 o teste é inconclusivo.
Quando trabalhamos com a série em y,
\sum_{n=0}^{\infty} c_n y^n,
definimos a_n = c_n y^n. Então a razão entre termos sucessivos é
existe (pode ser 0 ou +\infty), então a série em y converge quando
|y|\cdot \ell < 1
ou seja quando
|y| < \frac{1}{\ell}.
Logo, o raio de convergência em y seria
R_y = \frac{1}{\ell},
com as interpretações habituais: se \ell=0 então R_y=+\infty; se \ell=+\infty então R_y=0.
Passo 4
Observação técnica importante (caso limite não exista): o teste da razão tem uma versão mais geral usando limsup. Definindo
L := \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|,
a mesma dedução com o teste da razão dá que a série \sum c_n y^n converge para |y|<1/L e diverge para |y|>1/L. Portanto, de forma geral e rigorosa, o raio de convergência em y é
com as convenções \tfrac{1}{0}=+\infty e \tfrac{1}{+\infty}=0.
Passo 5
Agora volto para a variável x. Lembre que y=x^{m}. A condição de convergência em y é |y|<R_y, isto é
|x|^{m} < R_y.
Tomando a raiz m-ésima não negativa, obtemos
|x| < R_y^{1/m}.
Assim o raio de convergência em x, que chamarei R, é
R = R_y^{1/m}.
Passo 6
Substituindo a expressão de R_y em termos dos coeficientes, obtemos a fórmula final (usando limsup, válida sem precisar que limite exista):
R = \left(\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|}\right)^{\!1/m}.
Interpretações e casos especiais:
Se \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=0 então R=+\infty (convergência absoluta para todo x).
Se \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=+\infty então R=0 (só converge em x=0).
Se o limite \ell=\lim_{n\to\infty}|c_{n+1}/c_n| existe, a fórmula simplifica para
R = \left(\frac{1}{\ell}\right)^{\!1/m}.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
Se c_n=1 para todo n, então |c_{n+1}/c_n|=1, logo R=(1/1)^{1/m}=1. Isso corresponde à série \sum x^{mn+r}=x^r\sum (x^m)^n que converge para |x^m|<1, i.e. |x|<1.
Se c_n=1/n!, então |c_{n+1}/c_n|=1/(n+1)\to0, logo R=+\infty: a série converge para todo x.
Se c_n=n!, então |c_{n+1}/c_n|=n+1\to\infty, logo R=0: só converge em x=0.
Esses exemplos mostram como aplicar a fórmula na prática.