No intervalo (-1,1), desenvolva as seguintes funções numa série de Maclaurin:
\frac{x}{(1-x)^{2}}

Passo 1

O que o problema pede: desenvolver em série de Maclaurin (ou seja, em série de potências centrada em \,0) a função
\frac{x}{(1-x)^{2}}
no intervalo (-1,1).
Informações dadas e relevantes:
\text{função: }\frac{x}{(1-x)^{2}},\qquad\text{intervalo de interesse: }(-1,1).çã

Passo 2

Lembra da série geométrica básica: para |x|<1 vale
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}.
Breve justificativa (intuição): multiplicando ambos os lados por 1-x obtemos 1 no lado esquerdo e, no lado direito, uma soma telescópica que também dá 1, então a igualdade funciona quando a soma converge, isto é, quando |x|<1.

Passo 3

Agora vamos diferenciar a identidade da série geométrica termo a termo. Justificativa curta: dentro do raio de convergência ( |x|<1) podemos diferenciar séries de potências termo a termo e a nova série terá o mesmo raio de convergência.
Derivando o lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Derivando o lado direito termo a termo:
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{\,n-1}.
Portanto, para |x|<1 temos
\frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{\,n-1}.

Passo 4

Multiplicamos a igualdade do passo anterior por x (isso preserva o raio de convergência):
\frac{x}{(1-x)^{2}}=x\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{\,n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{\,n}.
Podemos também escrever os primeiros termos explicitamente para ver o padrão:
\frac{x}{(1-x)^{2}}=x+2x^{2}+3x^{3}+4x^{4}+\cdots.

Passo 5

Comentário prático para a prova: a maneira mais rápida de obter essa série é lembrar da série geométrica \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n, diferenciá-la para obter \frac{1}{(1-x)^2} e depois multiplicar por x. Isso costuma ser feito em 2 linhas e é totalmente aceitável em provas.

Resposta

\frac{x}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n}=x+2x^{2}+3x^{3}+4x^{4}+\cdots,\qquad |x|<1.

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