No intervalo
, desenvolva as seguintes funções numa série de Maclaurin:
Passo 1
O que o problema pede: desenvolver em série de Maclaurin (ou seja, em série de potências centrada em
) a função
no intervalo
.
Informações dadas e relevantes:
Passo 2
Lembra da série geométrica básica: para
vale
Breve justificativa (intuição): multiplicando ambos os lados por
obtemos
no lado esquerdo e, no lado direito, uma soma telescópica que também dá
, então a igualdade funciona quando a soma converge, isto é, quando
.
Passo 3
Agora vamos diferenciar a identidade da série geométrica termo a termo. Justificativa curta: dentro do raio de convergência (
) podemos diferenciar séries de potências termo a termo e a nova série terá o mesmo raio de convergência.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito termo a termo:
Portanto, para
temos
Passo 4
Multiplicamos a igualdade do passo anterior por
(isso preserva o raio de convergência):
Podemos também escrever os primeiros termos explicitamente para ver o padrão:
Passo 5
Comentário prático para a prova: a maneira mais rápida de obter essa série é lembrar da série geométrica
, diferenciá-la para obter
e depois multiplicar por
. Isso costuma ser feito em 2 linhas e é totalmente aceitável em provas.