No intervalo (-1,1), desenvolva as seguintes funções numa série de Maclaurin:
\frac{x^{2}}{(1-x)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para, no intervalo (-1,1), desenvolver a função \dfrac{x^{2}}{(1-x)^{3}} numa série de Maclaurin (ou seja, numa série de potências centrada em 0).
Informações fornecidas: a função explícita \dfrac{x^{2}}{(1-x)^{3}} e o intervalo de validade pedido (-1,1).
O que se deve entregar: uma expressão da forma de uma soma infinita (série de potências) que seja igual a \dfrac{x^{2}}{(1-x)^{3}} para |x|<1, e, de preferência, uma forma explícita dos coeficientes (fórmula para o n-ésimo coeficiente) e alguns termos iniciais para intuir o padrão.

Passo 2

Começamos pela série geométrica básica, que é a pedra fundamental aqui. A fórmula e a condição de convergência são:
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\qquad\text{para }|x|<1.
Explicação didática: a série à direita significa somar 1+x+x^{2}+x^{3}+\dots. Para |x|<1 essa soma infinita converge e seu valor é \dfrac{1}{1-x}. Essa é uma identidade que vale ponto a ponto em (-1,1). Vamos usar essa série e derivá-la term a term para obter séries para potências maiores de (1-x)^{-1}.

Passo 3

Diferenciando a série geométrica termo a termo (justificável dentro do raio de convergência |x|<1) obtemos a série para \dfrac{1}{(1-x)^{2}}. Faça as contas passo a passo:
derivando \dfrac{1}{1-x} obtemos \dfrac{1}{(1-x)^{2}} no lado esquerdo. No lado direito:
\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n-1}.
Fazendo a mudança de índice m=n-1 (ou escrevendo os termos começando em m=0), isto fica
\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n-1}=\sum_{m=0}^{\infty}(m+1)x^{m}.
Assim obtemos a identidade
\frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{m=0}^{\infty}(m+1)x^{m}\qquad\text{para }|x|<1.

Passo 4

Agora diferenciamos novamente para chegar a \dfrac{1}{(1-x)^{3}}. Diferenciando o lado esquerdo \dfrac{1}{(1-x)^{2}} obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{(1-x)^{2}}\right)=\frac{2}{(1-x)^{3}}.
No lado direito diferenciamos termo a termo:
\frac{d}{dx}\sum_{m=0}^{\infty}(m+1)x^{m}=\sum_{m=1}^{\infty}m(m+1)x^{m-1}.
Fazendo a mudança de índice k=m-1 temos
\sum_{m=1}^{\infty}m(m+1)x^{m-1}=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)(k+2)x^{k}.
Igualando as duas expressões (derivadas) obtemos
\frac{2}{(1-x)^{3}}=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)(k+2)x^{k}.
Portanto, isolando \dfrac{1}{(1-x)^{3}},
\frac{1}{(1-x)^{3}}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)(k+2)x^{k}\qquad\text{para }|x|<1.

Passo 5

Interpretando o coeficiente de maneira combinatória: note que
\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\binom{k+2}{2},
onde \binom{k+2}{2} é o coeficiente binomial que conta pares entre k+2 elementos. Assim podemos escrever
\frac{1}{(1-x)^{3}}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k+2}{2}x^{k}.
Isso é uma forma compacta e habitual de apresentar a série.

Passo 6

Multiplicamos agora por x^{2} (porque a função do enunciado é \dfrac{x^{2}}{(1-x)^{3}}). Multiplicando a série acima por x^{2} obtemos
\frac{x^{2}}{(1-x)^{3}}=x^{2}\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k+2}{2}x^{k}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k+2}{2}x^{k+2}.
Fazendo a mudança de índice n=k+2 (ou seja k=n-2), a soma fica mais bonita com potência x^{n}:
\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k+2}{2}x^{k+2}=\sum_{n=2}^{\infty}\binom{n}{2}x^{n}.
Observação alternativa: como \binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}, outra forma equivalente (estendendo o somatório a partir de n=0 já que para n=0,1 o termo vale zero) é
\frac{x^{2}}{(1-x)^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n(n-1)}{2}x^{n}.

Passo 7

Para ficar bem intuitivo, escrevo os primeiros termos da série (tirados do padrão \binom{n}{2} para n\ge2):
\frac{x^{2}}{(1-x)^{3}}=x^{2}+3x^{3}+6x^{4}+10x^{5}+15x^{6}+\dots
Aqui os coeficientes 1,3,6,10,15,\dots são os números triangulares, que coincidem com \binom{n}{2} para cada n.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\binom{n}{2}x^{n}

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