No intervalo
, desenvolva as seguintes funções numa série de Maclaurin:
Passo 1
O enunciado pede para, no intervalo
, desenvolver a função
numa série de Maclaurin (ou seja, numa série de potências centrada em
).
Informações fornecidas: a função explícita e o intervalo de validade pedido
.
O que se deve entregar: uma expressão da forma de uma soma infinita (série de potências) que seja igual a para
, e, de preferência, uma forma explícita dos coeficientes (fórmula para o
-ésimo coeficiente) e alguns termos iniciais para intuir o padrão.
Informações fornecidas: a função explícita
O que se deve entregar: uma expressão da forma de uma soma infinita (série de potências) que seja igual a
Passo 2
Começamos pela série geométrica básica, que é a pedra fundamental aqui. A fórmula e a condição de convergência são:
Explicação didática: a série à direita significa somar
. Para
essa soma infinita converge e seu valor é
. Essa é uma identidade que vale ponto a ponto em
. Vamos usar essa série e derivá-la term a term para obter séries para potências maiores de
.
Passo 3
Diferenciando a série geométrica termo a termo (justificável dentro do raio de convergência
) obtemos a série para
. Faça as contas passo a passo:
derivando obtemos
no lado esquerdo. No lado direito:
derivando
Fazendo a mudança de índice
(ou escrevendo os termos começando em
), isto fica
Assim obtemos a identidade
Passo 4
Agora diferenciamos novamente para chegar a
. Diferenciando o lado esquerdo
obtemos
No lado direito diferenciamos termo a termo:
Fazendo a mudança de índice
temos
Igualando as duas expressões (derivadas) obtemos
Portanto, isolando
,
Passo 5
Interpretando o coeficiente de maneira combinatória: note que
onde
é o coeficiente binomial que conta pares entre
elementos. Assim podemos escrever
Isso é uma forma compacta e habitual de apresentar a série.
Passo 6
Multiplicamos agora por
(porque a função do enunciado é
). Multiplicando a série acima por
obtemos
Fazendo a mudança de índice
(ou seja
), a soma fica mais bonita com potência
:
Observação alternativa: como
, outra forma equivalente (estendendo o somatório a partir de
já que para
o termo vale zero) é
Passo 7
Para ficar bem intuitivo, escrevo os primeiros termos da série (tirados do padrão
para
):
Aqui os coeficientes
são os números triangulares, que coincidem com
para cada
.