Considere a função f derivável e que f(-1) = 2 e f'(-1) = 5. Calcule d/dx raiz(x + f(x)) | x = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem que encontrar a derivada da função no ponto . Isso envolve conceitos de derivação e composição de funções. Vamos precisar saber como derivar funções compostas e usar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a função que queremos derivar de . Para achar a derivada de g(x), vamos usar a regra da cadeia, que é super útil quando temos uma função dentro de outra.

Passo 3

A regra da cadeia diz que a derivada de é , onde . Então, vamos identificar u(x) e depois derivar.

Passo 4

Aqui, . Agora, vamos derivar u(x). A derivada de x é 1, e a derivada de f(x) é . Então, .

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia:
Isso nos dá a derivada geral da função.

Passo 6

Para achar o valor específico em , vamos substituir x por -1, f(-1) por 2 e por 5 na expressão da derivada:

Passo 7

Vamos simplificar dentro da raiz:
Então, temos:

Passo 8

Sabemos que , então:

Resposta

A derivada de no ponto é igual a 3.

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