Mostre que as funções
são todas de ordem exponencial. Já a função
não é de ordem exponencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que as funções
,
,
,
, e
são todas de ordem exponencial. Além disso, tem que provar que
não é de ordem exponencial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser de ordem exponencial e usar alguns conceitos de limites e crescimento de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função de ordem exponencial. Basicamente, uma função
é de ordem exponencial se ela cresce no máximo tão rápido quanto uma função exponencial
para algum número real
. Isso significa que existe uma constante
e um
tal que:
onde
é algum ponto a partir do qual essa desigualdade vale.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada função uma por uma para verificar se elas satisfazem essa condição.
1.
:
Funções polinomiais como crescem mais devagar que funções exponenciais. Para qualquer
, podemos encontrar um
tal que
para
grande o suficiente.
Funções polinomiais como
2.
:
Essa já é uma função exponencial! Então, claramente, ela é de ordem exponencial com .
Essa já é uma função exponencial! Então, claramente, ela é de ordem exponencial com
3.
:
A função seno é limitada, pois os valores de estão entre -1 e 1. Logo, podemos escolher
e qualquer
para satisfazer a condição.
A função seno é limitada, pois os valores de
4.
:
O logaritmo cresce mais devagar que qualquer função exponencial. Para grande,
é muito menor que
, então ela também é de ordem exponencial.
O logaritmo cresce mais devagar que qualquer função exponencial. Para
5.
:
A raiz quadrada de cresce mais devagar que uma função linear, que por sua vez cresce mais devagar que qualquer exponencial. Portanto,
também é de ordem exponencial.
A raiz quadrada de
Passo 4
Agora, vamos ver por que
não é de ordem exponencial. Para que essa função fosse de ordem exponencial, teria que existir algum
tal que:
No entanto,
cresce mais rápido que
para qualquer
. Quando tentamos dividir as duas funções:
À medida que
aumenta,
também aumenta sem limite, o que faz com que
cresça sem limite. Isso significa que não existe um
e
que satisfaçam a condição para
.
Resposta
Todas as funções
,
,
,
, e
são de ordem exponencial, enquanto
não é de ordem exponencial.