Mostre que as funções
t^n, exp(a * t), sen(b * t), ln(1 + t), raiz(t)
são todas de ordem exponencial. Já a função exp(t^2) não é de ordem exponencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que as funções , , , , e são todas de ordem exponencial. Além disso, tem que provar que não é de ordem exponencial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser de ordem exponencial e usar alguns conceitos de limites e crescimento de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função de ordem exponencial. Basicamente, uma função é de ordem exponencial se ela cresce no máximo tão rápido quanto uma função exponencial para algum número real . Isso significa que existe uma constante e um tal que:
onde é algum ponto a partir do qual essa desigualdade vale.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada função uma por uma para verificar se elas satisfazem essa condição.
1. :
Funções polinomiais como crescem mais devagar que funções exponenciais. Para qualquer , podemos encontrar um tal que para grande o suficiente.
2. :
Essa já é uma função exponencial! Então, claramente, ela é de ordem exponencial com .
3. :
A função seno é limitada, pois os valores de estão entre -1 e 1. Logo, podemos escolher e qualquer para satisfazer a condição.
4. :
O logaritmo cresce mais devagar que qualquer função exponencial. Para grande, é muito menor que , então ela também é de ordem exponencial.
5. :
A raiz quadrada de cresce mais devagar que uma função linear, que por sua vez cresce mais devagar que qualquer exponencial. Portanto, também é de ordem exponencial.

Passo 4

Agora, vamos ver por que não é de ordem exponencial. Para que essa função fosse de ordem exponencial, teria que existir algum tal que:
No entanto, cresce mais rápido que para qualquer . Quando tentamos dividir as duas funções:
À medida que aumenta, também aumenta sem limite, o que faz com que cresça sem limite. Isso significa que não existe um e que satisfaçam a condição para .

Resposta

Todas as funções , , , , e são de ordem exponencial, enquanto não é de ordem exponencial.

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