Considere uma função f: I \rightarrow \mathbb{R}, onde I é um intervalo. Defina a noção de integral indefinida de f. Apresente um exemplo para ilustrar a definição.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos a noção de integral indefinida de uma função f\colon I\to\mathbb{R}, onde I é um intervalo. Esse conceito faz parte do conteúdo de cálculo diferencial e integral, mais precisamente de antiderivadas ou primitivas.

Passo 2

Primeiro, definimos o que é uma primitiva (ou antiderivada) de f. Dizemos que uma função F\colon I\to\mathbb{R} é primitiva de f em I se, para todo x\in I,
F'(x)=f(x).

Passo 3

A integral indefinida de f em I é precisamente o conjunto de todas as primitivas de f. Em notação,
\int f(x)\,\mathrm{d}x = \bigl\{F(x)+C \mid C\in\mathbb{R}\text{ e }F'(x)=f(x)\text{ em }I\bigr\}.

Passo 4

Para ilustrar, considere f(x)=2x definida em \mathbb{R}. Uma primitiva é
F(x)=x^2,
pois
F'(x)=2x=f(x).
Logo,
\int 2x\,\mathrm{d}x = x^2 + C,\quad C\in\mathbb{R}.

Resposta

A integral indefinida de f\colon I\to\mathbb{R} é o conjunto das suas primitivas, ou seja,
\int f(x)\,\mathrm{d}x = \{F(x)+C \mid F'(x)=f(x)\text{ em }I,\;C\in\mathbb{R}\}.
Por exemplo, para f(x)=2x obtemos
\int 2x\,\mathrm{d}x = x^2 + C.

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