Encontre uma primitiva de cada uma das funções abaixo.
(l) f(x)=2 x^{3}+\frac{4}{\sqrt[3]{x^{5}}}+\frac{2 x+7 x^{5}}{\sqrt{x}}+7 \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva F(x) de
f(x)=2x^{3}+\frac{4}{\sqrt[3]{x^{5}}}+\frac{2x+7x^{5}}{\sqrt{x}}+7\operatorname{sen}(x).
Aqui vamos usar a linearidade da integral, a regra do poder
\displaystyle\int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C (desde que n\neq -1)
e a primitiva de \operatorname{sen}(x), que é -\cos(x).

Passo 2

Primeiro, reescrevemos cada termo com potência de x:
\frac{4}{\sqrt[3]{x^{5}}} =4\,x^{-\tfrac{5}{3}}, \qquad \frac{2x+7x^{5}}{\sqrt{x}} =2x\cdot x^{-\tfrac12}+7x^{5}\cdot x^{-\tfrac12} =2x^{\tfrac12}+7x^{\tfrac{9}{2}}.

Passo 3

Integramos \displaystyle 2x^{3}:
\int 2x^{3}dx =2\cdot\frac{x^{4}}{4} =\frac{x^{4}}{2}.

Passo 4

Integramos \displaystyle 4x^{-\tfrac{5}{3}}:
\int 4x^{-\tfrac{5}{3}}dx =4\cdot\frac{x^{-\tfrac{5}{3}+1}}{-\tfrac{5}{3}+1} =4\cdot\frac{x^{-\tfrac{2}{3}}}{-\tfrac{2}{3}} =4\cdot\Bigl(-\frac{3}{2}\Bigr)x^{-\tfrac{2}{3}} =-6x^{-\tfrac{2}{3}}.

Passo 5

Integramos \displaystyle 2x^{\tfrac12}+7x^{\tfrac{9}{2}} separadamente:
\int 2x^{\tfrac12}dx =2\cdot\frac{x^{\tfrac{3}{2}}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{4}{3}x^{\tfrac{3}{2}},
\int 7x^{\tfrac{9}{2}}dx =7\cdot\frac{x^{\tfrac{11}{2}}}{\tfrac{11}{2}} = \frac{14}{11}x^{\tfrac{11}{2}}.

Passo 6

Integramos \displaystyle 7\operatorname{sen}(x):
\int 7\operatorname{sen}(x)\,dx =7\bigl(-\cos(x)\bigr) =-7\cos(x).

Passo 7

Somando todas as primitivas parciais e incluindo a constante C, temos
F(x) =\frac{x^{4}}{2} -6x^{-\tfrac{2}{3}} +\frac{4}{3}x^{\tfrac{3}{2}} +\frac{14}{11}x^{\tfrac{11}{2}} -7\cos(x) + C.

Resposta

F(x) =\frac{x^{4}}{2} -6x^{-\tfrac{2}{3}} +\frac{4}{3}x^{\tfrac{3}{2}} +\frac{14}{11}x^{\tfrac{11}{2}} -7\cos(x) + C.

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