Encontre todas as funções g tais que
g^{\prime}(x)=4 \operatorname{sen}(x)+\frac{2 x^{5}-\sqrt{x}}{x} .

Passo 1

O enunciado pede todas as funções g cuja derivada é
g'(x)=4\operatorname{sen}(x)+\frac{2x^{5}-\sqrt{x}}{x}.
O que precisamos fazer é encontrar uma primitiva dessa derivada, ou seja, calcular a integral indefinida de cada termo.

Passo 2

Primeiro simplificamos o quociente:
\frac{2x^{5}-\sqrt{x}}{x} =\frac{2x^{5}}{x}-\frac{x^{1/2}}{x} =2x^{4}-x^{-1/2}.
Assim
g'(x)=4\operatorname{sen}(x)+2x^{4}-x^{-1/2}.

Passo 3

Integramos termo a termo:
\int g'(x)\,dx =\int 4\operatorname{sen}(x)\,dx+\int 2x^{4}\,dx-\int x^{-1/2}\,dx.
Calculando cada integral:
\int 4\operatorname{sen}(x)\,dx=-4\cos(x),
\int 2x^{4}\,dx =2\cdot\frac{x^{5}}{5}=\frac{2}{5}x^{5},
\int x^{-1/2}\,dx =\frac{x^{1/2}}{\tfrac12}=2x^{1/2}.
Portanto
\int g'(x)\,dx =-4\cos(x)+\frac{2}{5}x^{5}-2x^{1/2}+C.

Passo 4

Concluímos que a família de todas as funções g com a derivada dada é
g(x)=-4\cos(x)+\frac{2}{5}x^{5}-2\sqrt{x}+C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

g(x)=-4\cos(x)+\frac{2}{5}x^{5}-2\sqrt{x}+C.

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