[12] Seja a>0 um número fixo tal que a \neq 1. Sabendo que a função f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\log _{a}(x) é inversa da função g: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty), g(x)=a^{x}, determine (f \circ g)\left(\pi^{2}\right) e (g \circ f)\left(2^{\pi}\right).

Passo 1

O enunciado dá as funções e pede dois valores compostos. Informações e pedidos que temos:
  • Dado um número fixo a>0 com a \neq 1.
  • A função f:(0,\infty)\to\mathbb{R} é definida por f(x)=\log_{a}(x).
  • A função g:\mathbb{R}\to(0,\infty) é definida por g(x)=a^{x}.
  • Foi informado que f é inversa de g (ou seja, f=g^{-1} e g=f^{-1}).
  • Perguntas: determine (f\circ g)\left(\pi^{2}\right)e (g\circ f)\left(2^{\pi}\right).

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “funções inversas” e “composição” de funções, de um jeito bem direto e sem enrolar.
  • Se f e g são funções inversas, isso significa que, para todo x no domínio de g, (f\circ g)(x)=x,e para todo y no domínio de f, (g\circ f)(y)=y.Essas igualdades dizem que a composição devolve o valor original — a função “desfaz” a outra.
  • A composição f\circ g significa aplicar primeiro g e depois f: (f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big).
  • Atenção às domínios: aqui g:\mathbb{R}\to(0,\infty) e f:(0,\infty)\to\mathbb{R}, então as composições f\circ g e g\circ f fazem sentido exatamente nos domínios indicados.

Passo 3

Agora vamos revisar as propriedades elementares de logaritmo e exponencial que justificam que uma é a inversa da outra (isso é um mini-aula):
  • A função exponencial g(x)=a^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R} quando a>0.
  • A função logaritmo \log_{a}(x) está definida para todo x>0 quando a>0 e a\neq 1.
  • A relação de inversão básica entre elas é: \log_{a}\big(a^{x}\big)=x\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},e a^{\log_{a}(y)}=y\quad\text{para todo }y>0.Explicando por que isso é verdade: por definição de logaritmo, \log_{a}(t) é o número s tal que a^{s}=t. Então, se tomamos t=a^{x}, o número s que satisfaz a^{s}=a^{x} é s=x; isto é exatamente \log_{a}(a^{x})=x. O outro caso é análogo: a^{\log_{a}(y)} é y porque \log_{a}(y) é o expoente que produz y.

Passo 4

Aplicando a propriedade anterior à primeira composição. Como f=\log_{a} e g(x)=a^{x}, temos para qualquer x\in\mathbb{R}:
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=\log_{a}\big(a^{x}\big)=x.
Em particular, escolhendo x=\pi^{2} (que pertence a \mathbb{R}), obtemos:
(f\circ g)\left(\pi^{2}\right)=\pi^{2}.

Passo 5

Agora a segunda composição. Como g=a^{(\cdot)} e f=\log_{a}, para qualquer y>0 (domínio de f) vale:
(g\circ f)(y)=g\big(f(y)\big)=a^{\log_{a}(y)}=y.
Ou seja, g\circ f é a identidade em (0,\infty). Em particular, 2^{\pi} é positivo (pertence a (0,\infty)), logo podemos aplicar a igualdade com y=2^{\pi}:
(g\circ f)\left(2^{\pi}\right)=2^{\pi}.

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio para memorizar na prova:
  • Se f e g são inversas, as composições retornam o argumento original.
  • Para logaritmo e exponencial na mesma base a, temos as identidades \log_{a}(a^{x})=x e a^{\log_{a}(y)}=y, que são exatamente as afirmações de inversão.
  • Basta verificar que os pontos onde avaliamos pertencem aos domínios corretos ( \pi^{2}\in\mathbb{R} e 2^{\pi}>0), o que é verdadeiro, portanto as respostas são os próprios argumentos.

Resposta

(f\circ g)\left(\pi^{2}\right)=\pi^{2}\n
(g\circ f)\left(2^{\pi}\right)=2^{\pi}

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