[12] Seja
um número fixo tal que
. Sabendo que a função
é inversa da função
, determine
e
.
Passo 1
O enunciado dá as funções e pede dois valores compostos. Informações e pedidos que temos:
- Dado um número fixo
com . - A função
é definida por . - A função
é definida por . - Foi informado que
é inversa de (ou seja, e ). - Perguntas: determine
e
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “funções inversas” e “composição” de funções, de um jeito bem direto e sem enrolar.
- Se
e são funções inversas, isso significa que, para todo no domínio de , e para todo no domínio de , Essas igualdades dizem que a composição devolve o valor original — a função “desfaz” a outra. - A composição
significa aplicar primeiro e depois : . - Atenção às domínios: aqui
e , então as composições e fazem sentido exatamente nos domínios indicados.
Passo 3
Agora vamos revisar as propriedades elementares de logaritmo e exponencial que justificam que uma é a inversa da outra (isso é um mini-aula):
- A função exponencial
está definida para todo quando . - A função logaritmo
está definida para todo quando e . - A relação de inversão básica entre elas é:
e Explicando por que isso é verdade: por definição de logaritmo, é o número tal que . Então, se tomamos , o número que satisfaz é ; isto é exatamente . O outro caso é análogo: é porque é o expoente que produz .
Passo 4
Aplicando a propriedade anterior à primeira composição. Como
e
, temos para qualquer
:
Em particular, escolhendo
(que pertence a
), obtemos:
Passo 5
Agora a segunda composição. Como
e
, para qualquer
(domínio de
) vale:
Ou seja,
é a identidade em
. Em particular,
é positivo (pertence a
), logo podemos aplicar a igualdade com
:
Passo 6
Resumo rápido do raciocínio para memorizar na prova:
- Se
e são inversas, as composições retornam o argumento original. - Para logaritmo e exponencial na mesma base
, temos as identidades e , que são exatamente as afirmações de inversão. - Basta verificar que os pontos onde avaliamos pertencem aos domínios corretos (
e ), o que é verdadeiro, portanto as respostas são os próprios argumentos.