Considere a função f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, definida por f(x)=\frac{x}{|x|}.
a) Mostre que f é contínua.
b) Demonstre que f não é uniformemente contínua. Conclua que nem
c) Mostre que toda função uniformemente contínua é contínua. O que dizer da recíproca?
Precisamos:
a) mostrar que f é contínua no domínio;
b) demonstrar que f não é uniformemente contínua e concluir que nem toda função contínua é uniformemente contínua;
c) provar que toda função uniformemente contínua é contínua e discutir a recíproca.
Passo 2
Para ver que f é contínua em cada ponto x_0\neq0, distinguimos dois casos:
– Se x_0>0, existe \delta>0 tal que (x_0-\delta,x_0+\delta)\subset(0,\infty). Nesse intervalo f(x)=1 é constante, logo contínua em x_0.
– Se x_0<0, existe \delta>0 tal que (x_0-\delta,x_0+\delta)\subset(-\infty,0). Nesse intervalo f(x)=-1 é constante, logo contínua em x_0.
Portanto f é contínua em todo x_0\neq0.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que f seja uniformemente contínua. Então existe \delta>0 tal que
Em particular, ao fixar um ponto x_0\in D e exigir |x-x_0|<\delta, obtém-se exatamente a condição de continuidade em x_0. Portanto toda função uniformemente contínua é contínua.
Passo 5
A recíproca é falsa: há funções contínuas que não são uniformemente contínuas. Exemplos clássicos são
que são contínuas mas já vimos que não satisfazem uniformidade.
Resposta
a) f é contínua em \mathbb{R}\setminus\{0\}.
b) f não é uniformemente contínua; logo nem toda função contínua é uniformemente contínua.
c) Toda função uniformemente contínua é contínua. A recíproca não vale (contraexemplos acima).