Considere a função f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, definida por f(x)=\frac{x}{|x|}.
a) Mostre que f é contínua.
b) Demonstre que f não é uniformemente contínua. Conclua que nem
c) Mostre que toda função uniformemente contínua é contínua. O que dizer da recíproca?

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{x}{|x|}.
Precisamos:
a) mostrar que f é contínua no domínio;
b) demonstrar que f não é uniformemente contínua e concluir que nem toda função contínua é uniformemente contínua;
c) provar que toda função uniformemente contínua é contínua e discutir a recíproca.

Passo 2

Para ver que f é contínua em cada ponto x_0\neq0, distinguimos dois casos:
– Se x_0>0, existe \delta>0 tal que (x_0-\delta,x_0+\delta)\subset(0,\infty). Nesse intervalo f(x)=1 é constante, logo contínua em x_0.
– Se x_0<0, existe \delta>0 tal que (x_0-\delta,x_0+\delta)\subset(-\infty,0). Nesse intervalo f(x)=-1 é constante, logo contínua em x_0.
Portanto f é contínua em todo x_0\neq0.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que f seja uniformemente contínua. Então existe \delta>0 tal que
|x-y|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(x)-f(y)\bigr|<2 \quad\forall x,y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Escolha
x=\frac{\delta}{2}>0, \quad y=-\frac{\delta}{2}<0.
Então |x-y|=\delta<\delta, mas
\bigl|f(x)-f(y)\bigr| =\bigl|1-(-1)\bigr| =2,
contradição. Logo f não é uniformemente contínua. Concluímos que nem toda função contínua é uniformemente contínua.

Passo 4

Uma função g\colon D\to\mathbb{R} é uniformemente contínua se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para quaisquer x,y\in D,
|x-y|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-g(y)|<\varepsilon.
Em particular, ao fixar um ponto x_0\in D e exigir |x-x_0|<\delta, obtém-se exatamente a condição de continuidade em x_0. Portanto toda função uniformemente contínua é contínua.

Passo 5

A recíproca é falsa: há funções contínuas que não são uniformemente contínuas. Exemplos clássicos são
f(x)=\frac{x}{|x|}\quad\text{em }\mathbb{R}\setminus\{0\}, \qquad h(x)=x^2\quad\text{em }\mathbb{R},
que são contínuas mas já vimos que não satisfazem uniformidade.

Resposta

a) f é contínua em \mathbb{R}\setminus\{0\}.
b) f não é uniformemente contínua; logo nem toda função contínua é uniformemente contínua.
c) Toda função uniformemente contínua é contínua. A recíproca não vale (contraexemplos acima).

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