Considere a função
, definida por
.
a) Mostre que
é contínua.
b) Determine
e conclua que
não é limitada.
c) Por que a função contínua
não é limitada se seu domínio é limitado?
a) Mostre que
b) Determine
c) Por que a função contínua
Passo 1
O enunciado define a função
por
Pede-se:
a) mostrar que é contínua;
b) determinar a imagem e concluir que
não é limitada;
c) explicar por que, apesar do domínio ser limitado, contínua não é limitada.
Os conteúdos envolvidos são continuidade de funções elementares, imagem de intervalos e o Teorema do Valor Extremo (compacidade).
a) mostrar que
b) determinar a imagem
c) explicar por que, apesar do domínio ser limitado,
Os conteúdos envolvidos são continuidade de funções elementares, imagem de intervalos e o Teorema do Valor Extremo (compacidade).
Passo 2
Para mostrar que
é contínua, note que a função recíproca
é contínua em todo conjunto que não contenha
. Como
não contém
,
é contínua em
. Além disso,
é exatamente
restrita a
. Logo,
é contínua em
por ser a composição da identidade (contínua) com
(contínua).
Passo 3
Vamos determinar
Quando
,
. Ao fazermos
, temos
Para cada
existe
tal que
. Portanto
que não é limitado acima. Como não há um
que sirva como maior valor de
, concluímos que
não é limitada.
Passo 4
O Teorema do Valor Extremo afirma que toda função contínua em um conjunto compacto admite máximo e mínimo. Aqui, embora
seja limitado, ele não é fechado (falta o ponto
), logo não é compacto. Sem compacidade, a continuidade de
não garante valores extremos, e de fato
quando
.
Resposta
a)
é contínua em
pois é a restrição da função recíproca
, contínua em qualquer conjunto que não contenha zero.
b) , logo
não é limitada acima e, portanto, não é limitada.
c) Porque o domínio não é compacto (falta o ponto
), o Teorema do Valor Extremo não se aplica e uma função contínua em conjunto não compacto pode divergir.
b)
c) Porque o domínio