Considere a função f:(0,1] \rightarrow \mathbb{R}, definida por f(x)=\frac{1}{x}.
a) Mostre que f é contínua.
b) Determine f((0,1]) e conclua que f não é limitada.
c) Por que a função contínua f não é limitada se seu domínio é limitado?

Passo 1

O enunciado define a função \,f:(0,1]\to\mathbb{R} por
f(x)=\frac{1}{x}.
Pede-se:
a) mostrar que f é contínua;
b) determinar a imagem f((0,1]) e concluir que f não é limitada;
c) explicar por que, apesar do domínio ser limitado, f contínua não é limitada.
Os conteúdos envolvidos são continuidade de funções elementares, imagem de intervalos e o Teorema do Valor Extremo (compacidade).

Passo 2

Para mostrar que f é contínua, note que a função recíproca
g(y)=\frac{1}{y}
é contínua em todo conjunto que não contenha 0. Como (0,1] não contém 0, g é contínua em (0,1]. Além disso, f é exatamente g restrita a (0,1]. Logo, f é contínua em (0,1] por ser a composição da identidade (contínua) com g (contínua).

Passo 3

Vamos determinar
f((0,1])=\bigl\{\tfrac{1}{x}:x\in(0,1]\bigr\}.
Quando x=1, f(1)=1. Ao fazermos x\to0^+, temos
\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty.
Para cada y\ge1 existe x=\tfrac{1}{y}\in(0,1] tal que f(x)=y. Portanto
f((0,1])=[1,\infty),
que não é limitado acima. Como não há um M<\infty que sirva como maior valor de f, concluímos que f não é limitada.

Passo 4

O Teorema do Valor Extremo afirma que toda função contínua em um conjunto compacto admite máximo e mínimo. Aqui, embora (0,1] seja limitado, ele não é fechado (falta o ponto 0), logo não é compacto. Sem compacidade, a continuidade de f não garante valores extremos, e de fato f(x)\to+\infty quando x\to0^+.

Resposta

a) f é contínua em (0,1] pois é a restrição da função recíproca y\mapsto1/y, contínua em qualquer conjunto que não contenha zero.
b) f((0,1])=[1,\infty), logo f não é limitada acima e, portanto, não é limitada.
c) Porque o domínio (0,1] não é compacto (falta o ponto 0), o Teorema do Valor Extremo não se aplica e uma função contínua em conjunto não compacto pode divergir.

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