Fixado
, considere a função
definida por
.
a) Mostre que
é crescente. Em particular,
é injetiva.
b) Mostre que,
. Conclua que
é uma bijeção.
c) Mostre que para todo
, existe um único
tal que
, ou seja,
.
d) O que acontece no caso particular em que
ímpar?
a) Mostre que
b) Mostre que,
c) Mostre que para todo
d) O que acontece no caso particular em que
Passo 1
O enunciado fixa um
e define
Queremos mostrar:
-
é estritamente crescente (logo injetiva). -
(logo sobrejetiva e, junto com injetividade, bijetiva). - Com isso, para cada
existe único com . - Discutir o caso particular em que
é ímpar.
Passo 2
Provar que
é estritamente crescente em
.
Sejam . Como todos os fatores são não negativos, multiplicar sucessivamente a desigualdade
por um mesmo número não negativo preserva a ordem. Em particular,
Sejam
Logo
. Assim
é estritamente crescente, e em consequência injetiva.
Passo 3
Mostrar que
é sobrejetiva em
.
Observamos que é contínua em
, com
. Além disso,
Observamos que
Pelo Teorema do Valor Intermediário, para todo
existe pelo menos um
tal que
. Assim
ou seja,
é sobrejetiva.
Passo 4
Concluir que
é bijetiva e que a inversa é a raiz
-ésima.
Como é injetiva (Passo 2) e sobrejetiva (Passo 3), segue que
é bijeção de
em
. Logo, para cada
existe um único
tal que
Como
Definimos então
que é exatamente
.
Passo 5
Caso particular:
ímpar.
Se é ímpar, a mesma prova de monotonicidade vale para toda a reta real, pois não dividimos por zero e multiplicar desigualdade por número real preserva o sinal quando esse número é positivo e inverte quando é negativo, mas como o número é
e assumimos
em
, repetindo o raciocínio dá
em
. Assim
Se
é estritamente crescente e surjetiva em
. Consequência: para todo
existe único
tal que
. Portanto, quando
é ímpar, a raiz
-ésima está bem definida em todos os reais, e
.
Resposta
(a)
é estritamente crescente em
, logo injetiva.
(b) Como ,
e
é contínua, tem-se
; assim
é bijeção.
(c) Para todo existe único
tal que
, definindo
.
(d) Se é ímpar,
estende-se a bijeção
e, portanto, toda raiz
-ésima real (inclusive de
) existe e é única.
(b) Como
(c) Para todo
(d) Se