Fixado n \in \mathbb{N}, considere a função f:[0,+\infty) \rightarrow[0,+\infty) definida por f(x)=x^{n}.
a) Mostre que f é crescente. Em particular, f é injetiva.
b) Mostre que, f([0,+\infty))=[0,+\infty). Conclua que f é uma bijeção.
c) Mostre que para todo a \geq 0, existe um único b \geq 0 tal que a=b^{n}, ou seja, b=\sqrt[n]{a}.
d) O que acontece no caso particular em que n ímpar?

Passo 1

O enunciado fixa um n\in\mathbb{N} e define
f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \quad f(x)=x^n.
Queremos mostrar:
  1. f é estritamente crescente (logo injetiva).
  2. f([0,\infty))=[0,\infty) (logo sobrejetiva e, junto com injetividade, bijetiva).
  3. Com isso, para cada a\ge0 existe único b\ge0 com b^n=a.
  4. Discutir o caso particular em que n é ímpar.

Passo 2

Provar que f é estritamente crescente em [0,\infty).
Sejam 0\le x<y. Como todos os fatores são não negativos, multiplicar sucessivamente a desigualdade x<y por um mesmo número não negativo preserva a ordem. Em particular,
x<y \;\implies\; x\cdot x < y\cdot x \;\implies\; x^2 < x\,y \;\implies\;\dots\;\implies\; x^n < y^n.
Logo f(x)=x^n < y^n = f(y). Assim f é estritamente crescente, e em consequência injetiva.

Passo 3

Mostrar que f é sobrejetiva em [0,\infty).
Observamos que f é contínua em [0,\infty), com f(0)=0. Além disso,
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}x^n = +\infty.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, para todo a\ge0 existe pelo menos um b\ge0 tal que f(b)=a. Assim
f([0,\infty)) = [0,\infty),
ou seja, f é sobrejetiva.

Passo 4

Concluir que f é bijetiva e que a inversa é a raiz n-ésima.
Como f é injetiva (Passo 2) e sobrejetiva (Passo 3), segue que f é bijeção de [0,\infty) em [0,\infty). Logo, para cada a\ge0 existe um único b\ge0 tal que
b^n = a.
Definimos então
b = \sqrt[n]{a},
que é exatamente f^{-1}(a).

Passo 5

Caso particular: n ímpar.
Se n é ímpar, a mesma prova de monotonicidade vale para toda a reta real, pois não dividimos por zero e multiplicar desigualdade por número real preserva o sinal quando esse número é positivo e inverte quando é negativo, mas como o número é x e assumimos x<y em \mathbb{R}, repetindo o raciocínio dá x^n<y^n em \mathbb{R}. Assim
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=x^n
é estritamente crescente e surjetiva em \mathbb{R}. Consequência: para todo a\in\mathbb{R} existe único b\in\mathbb{R} tal que b^n = a. Portanto, quando n é ímpar, a raiz n-ésima está bem definida em todos os reais, e \sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}.

Resposta

(a) f é estritamente crescente em [0,\infty), logo injetiva.
(b) Como f(0)=0, \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty e f é contínua, tem-se f([0,\infty))=[0,\infty); assim f é bijeção.
(c) Para todo a\ge0 existe único b\ge0 tal que b^n=a, definindo b=\sqrt[n]{a}.
(d) Se n é ímpar, f(x)=x^n estende-se a bijeção \mathbb{R}\to\mathbb{R} e, portanto, toda raiz n-ésima real (inclusive de a<0) existe e é única.

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