verifique se as funções abaixo são ou não lipschitzianas.
f:[1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f\colon[1,+\infty)\to\mathbb{R},\quad f(x)=\sqrt{x}
é Lipschitziana em seu domínio. Lembrando que f é Lipschitziana se existe constante L\ge0 tal que, para quaisquer x,y\in[1,+\infty),
|f(x)-f(y)|\le L\,|x-y|.

Passo 2

Observamos que f é derivável em (1,+\infty) com
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Pelo Teorema do Valor Médio, para quaisquer x,y\ge1 existe c entre x e y tal que
f(x)-f(y)=f'\text{(c)}\,(x-y).
Tomando valor absoluto,
|f(x)-f(y)|=|f'\text{(c)}|\,|x-y|.

Passo 3

Como c\ge1, temos
|f'\text{(c)}|=\frac{1}{2\sqrt{c}}\le\frac{1}{2}.
Logo
|f(x)-f(y)|\le\frac{1}{2}\,|x-y|
para todos x,y\in[1,+\infty). Portanto, basta escolher L=\tfrac12.

Resposta

A função f(x)=\sqrt{x} é Lipschitziana em [1,+\infty) com constante de Lipschitz L=\tfrac12.

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