Considere a função f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}, definida por:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\\\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 \end{array}\right.
Mostre que a função f possui as derivadas direcionais \frac{\partial f}{\partial v} em todos os pontos de \mathbb{R}^{2}, segundo qualquer vetor v=(\alpha, \beta).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}},&x^{2}+y^{2}\neq0,\\[6pt] 0,&x^{2}+y^{2}=0, \end{cases}
e pede para mostrar que, em todo ponto (x,y)\in\mathbb{R}^{2} e para qualquer vetor de direção v=(\alpha,\beta), existe o derivada direcional
D_{v}f(x,y) =\lim_{t\to0}\frac{f\bigl((x,y)+t(\alpha,\beta)\bigr)-f(x,y)}{t}.
O conteúdo principal é o conceito de derivada direcional e o fato de que funções racionais são diferenciáveis onde o denominador não se anula.]

Passo 2

Se (x,y)\neq(0,0), então x^{2}+y^{2}\neq0 e
f(x,y) =\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}
é quociente de polinômios cujo denominador é não nulo nessa vizinhança. Logo f é de classe C^{\infty} em torno de (x,y), o que implica que todas as derivadas parciais existem e são contínuas aí. Assim, para qualquer direção v, o limite
\lim_{t\to0}\frac{f((x,y)+t\,v)-f(x,y)}{t}
existe e coincide com \nabla f(x,y)\cdot v. Portanto, em todo ponto (x,y)\neq(0,0) as derivadas direcionais existem.

Passo 3

Resta verificar o caso (x,y)=(0,0). Pela definição,
D_{v}f(0,0) =\lim_{t\to0}\frac{f(t\alpha,t\beta)-f(0,0)}{t} =\lim_{t\to0}\frac{f(t\alpha,t\beta)}{t}.
Para t\neq0 temos
f(t\alpha,t\beta) =\frac{(t\alpha)^{2}(t\beta)}{(t\alpha)^{2}+(t\beta)^{2}} =\frac{t^{3}\alpha^{2}\beta}{t^{2}(\alpha^{2}+\beta^{2})} =t\;\frac{\alpha^{2}\beta}{\alpha^{2}+\beta^{2}}.
Logo
\frac{f(t\alpha,t\beta)}{t} =\frac{\alpha^{2}\beta}{\alpha^{2}+\beta^{2}},
que é independente de t. Portanto o limite existe e vale
D_{v}f(0,0) =\frac{\alpha^{2}\beta}{\alpha^{2}+\beta^{2}} \quad\text{(para \((\alpha,\beta)\neq(0,0)\))}.
No caso trivial v=(0,0), o quociente é sempre zero, então também existe.

Resposta

Em todos os pontos de \mathbb{R}^{2} e para qualquer vetor v=(\alpha,\beta), existe a derivada direcional D_{v}f. Em (x,y)\neq(0,0) ela é dada por \nabla f(x,y)\cdot v (pois f é C^{\infty} aí) e em (0,0) vale
D_{v}f(0,0) =\frac{\alpha^{2}\beta}{\alpha^{2}+\beta^{2}}
(se (\alpha,\beta)\neq(0,0)) ou 0 (se v=(0,0)).

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