Mostre que a função f possui as derivadas direcionais \frac{\partial f}{\partial v} em todos os pontos de \mathbb{R}^{2}, segundo qualquer vetor v=(\alpha, \beta).
O conteúdo principal é o conceito de derivada direcional e o fato de que funções racionais são diferenciáveis onde o denominador não se anula.]
Passo 2
Se (x,y)\neq(0,0), então x^{2}+y^{2}\neq0 e
f(x,y) =\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}
é quociente de polinômios cujo denominador é não nulo nessa vizinhança. Logo f é de classe C^{\infty} em torno de (x,y), o que implica que todas as derivadas parciais existem e são contínuas aí. Assim, para qualquer direção v, o limite
\lim_{t\to0}\frac{f((x,y)+t\,v)-f(x,y)}{t}
existe e coincide com \nabla f(x,y)\cdot v. Portanto, em todo ponto (x,y)\neq(0,0) as derivadas direcionais existem.
Passo 3
Resta verificar o caso (x,y)=(0,0). Pela definição,
No caso trivial v=(0,0), o quociente é sempre zero, então também existe.
Resposta
Em todos os pontos de \mathbb{R}^{2} e para qualquer vetor v=(\alpha,\beta), existe a derivada direcional D_{v}f. Em (x,y)\neq(0,0) ela é dada por \nabla f(x,y)\cdot v (pois f é C^{\infty} aí) e em (0,0) vale