Determinar a função f=f(x, y), sabendo-se que:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para achar uma função f(x,y) cuja derivada parcial em relação a y seja
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
O método é integrar essa expressão em y, lembrando que a “constante” de integração pode ser uma função que dependa só de x.

Passo 2

Vamos integrar em y:
f(x,y)=\int \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy.
Como x é tratado como constante, temos
\int \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy =x\int \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\,dy =x\cdot\frac{1}{x}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) =\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).

Passo 3

Devido à integração parcial, deve aparecer uma “constante” de integração que pode depender de x. Logo, a forma geral da solução é
f(x,y)=\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)+g(x),
onde g(x) é uma função arbitrária de x.

Resposta

f(x,y)=\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)+g(x),
com g(x) qualquer função de x.

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