Considere a função
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(x), \text { onde } f(x)=1-\frac{x}{\pi}+\frac{x^{2}}{\pi^{2}}-\frac{x^{3}}{\pi^{3}}+\frac{x^{4}}{\pi^{4}}-\frac{x^{5}}{\pi^{5}}
Se denotarmos por
S_{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto S_{f}(x)
a série de Fourier 2 \pi-periódica que converge para f(x) num intervalo aberto em torno da origem, temos que:
(a) S_{f}(-\pi)=0
(b) S_{f}(-\pi)=1
(c) S_{f}(-\pi)=6
(d) Nenhuma das outras opções é correta.
(e) $S_{f}(-\pi)=3

Passo 1

O enunciado dá a função
f: \mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=1-\frac{x}{\pi}+\frac{x^{2}}{\pi^{2}}-\frac{x^{3}}{\pi^{3}}+\frac{x^{4}}{\pi^{4}}-\frac{x^{5}}{\pi^{5}}.
Também define S_{f} como a série de Fourier 2\pi-periódica que converge para f(x) em um intervalo aberto em torno da origem. A pergunta é determinar o valor de S_{f}(-\pi). As opções são:
(a) S_{f}(-\pi)=0
(b) S_{f}(-\pi)=1
(c) S_{f}(-\pi)=6
(d) Nenhuma das outras opções é correta.
(e) S_{f}(-\pi)=3

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual valor a série de Fourier periódica assume em pontos onde a extensão periódica pode causar descontinuidade. Regra essencial (resultado clássico): se uma função periódica g tem limites laterais em um ponto x_{0}, então a série de Fourier de g converge em x_{0} para a média dos limites laterais:
\text{valor da série em }x_{0}=\frac{g(x_{0}^{-})+g(x_{0}^{+})}{2}.é
Aqui g(x_{0}^{-}) é o limite da função vindo pela esquerda e g(x_{0}^{+}) é o limite vindo pela direita. Essa é a consequência do teorema de Dirichlet para séries de Fourier (explicação: a série “vê” a média das duas vizinhanças quando há salto).
No nosso caso, construímos a série S_{f} como a série de Fourier 2\pi-periódica associada a f numa vizinhança de 0. Portanto consideramos a extensão periódica de f no intervalo (-\pi,\pi) (ou equivalente). Em particular, no ponto x=-\pi os limites laterais da função periódica são:
\text{limite pela esquerda em }- \pi = f(\pi) \quad\text{(porque pela periodicidade, a vizinhança à esquerda de }- \pi\text{ corresponde a perto de }+\pi),çà
\text{limite pela direita em }- \pi = f(-\pi).
Assim o valor da série em x=-\pi será a média
S_{f}(-\pi)=\frac{f(\pi)+f(-\pi)}{2}.

Passo 3

Agora calculamos f(\pi). Substituindo x=\pi em cada termo:
\frac{\pi}{\pi}=1,\qquad \frac{\pi^{2}}{\pi^{2}}=1,\qquad \frac{\pi^{3}}{\pi^{3}}=1,\qquad \frac{\pi^{4}}{\pi^{4}}=1,\qquad \frac{\pi^{5}}{\pi^{5}}=1.
Portanto
f(\pi)=1-\frac{\pi}{\pi}+\frac{\pi^{2}}{\pi^{2}}-\frac{\pi^{3}}{\pi^{3}}+\frac{\pi^{4}}{\pi^{4}}-\frac{\pi^{5}}{\pi^{5}}=1-1+1-1+1-1.
Repare que os sinais alternam e há três pares 1-1, logo a soma é
f(\pi)=0.

Passo 4

Agora calculamos f(-\pi). Substituindo x=-\pi:
\frac{-\pi}{\pi}=-1,\qquad \frac{(-\pi)^{2}}{\pi^{2}}=1,\qquad \frac{(-\pi)^{3}}{\pi^{3}}=-1,\qquad \frac{(-\pi)^{4}}{\pi^{4}}=1,\qquad \frac{(-\pi)^{5}}{\pi^{5}}=-1.
Colocando os sinais do polinômio:
f(-\pi)=1-\frac{-\pi}{\pi}+\frac{(-\pi)^{2}}{\pi^{2}}-\frac{(-\pi)^{3}}{\pi^{3}}+\frac{(-\pi)^{4}}{\pi^{4}}-\frac{(-\pi)^{5}}{\pi^{5}}.
Substituindo os valores acima obtemos termo a termo:
f(-\pi)=1-(-1)+1-(-1)+1-(-1).
Cada expressão -(-1) vira +1, então há seis vezes 1, logo
f(-\pi)=6.

Passo 5

Aplicando a fórmula da média dos limites laterais do Passo 2, temos
S_{f}(-\pi)=\frac{f(\pi)+f(-\pi)}{2}=\frac{0+6}{2}.

Resposta

(e) S_{f}(-\pi)=3

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