Considere a função
Se denotarmos por
a série de Fourier
-periódica que converge para
num intervalo aberto em torno da origem, temos que:
(a)
(b)
(c)
(d) Nenhuma das outras opções é correta.
(e) $S_{f}(-\pi)=3
(a)
(b)
(c)
(d) Nenhuma das outras opções é correta.
(e) $S_{f}(-\pi)=3
Passo 1
O enunciado dá a função
Também define
como a série de Fourier
-periódica que converge para
em um intervalo aberto em torno da origem. A pergunta é determinar o valor de
. As opções são:
(a)
(b)
(c)
(d) Nenhuma das outras opções é correta.
(e)
(a)
(b)
(c)
(d) Nenhuma das outras opções é correta.
(e)
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual valor a série de Fourier periódica assume em pontos onde a extensão periódica pode causar descontinuidade. Regra essencial (resultado clássico): se uma função periódica
tem limites laterais em um ponto
, então a série de Fourier de
converge em
para a média dos limites laterais:
Aqui
é o limite da função vindo pela esquerda e
é o limite vindo pela direita. Essa é a consequência do teorema de Dirichlet para séries de Fourier (explicação: a série “vê” a média das duas vizinhanças quando há salto).
No nosso caso, construímos a série
como a série de Fourier
-periódica associada a
numa vizinhança de
. Portanto consideramos a extensão periódica de
no intervalo
(ou equivalente). Em particular, no ponto
os limites laterais da função periódica são:
Assim o valor da série em
será a média
Passo 3
Agora calculamos
. Substituindo
em cada termo:
Portanto
Repare que os sinais alternam e há três pares
, logo a soma é
Passo 4
Agora calculamos
. Substituindo
:
Colocando os sinais do polinômio:
Substituindo os valores acima obtemos termo a termo:
Cada expressão
vira
, então há seis vezes
, logo
Passo 5
Aplicando a fórmula da média dos limites laterais do Passo 2, temos
Resposta
(e)