Considere o seguinte problema de valor inicial e de fronteira (equação da onda):
\begin{cases}u_{t t}-u_{x x}=0 & \text { para } x \in(0, \pi), t>0 \\\ u(0, t)=u(\pi, t)=0 & \text { para } t \geq 0 \\\ u(x, 0)=\varphi(x) & \text { para } x \in(0, \pi) \\\ u_{t}(x, 0)=\psi(x) & \text { para } x \in(0, \pi)\end{cases}
Se \varphi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{n^{4}} e \psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{n^{3}}, podemos afirmar que a solução u(x, t) do problema é igual a
(a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}\left[\frac{1}{n^{2}} \cos (n t)+\sin (n t)\right] \sin (n x).
(b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\left[\frac{1}{n^{2}} \cos (n t)+\sin (n t)\right] \sin (n x).
(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}[\cos (n t)+\sin (n t)] \cos (n x).
(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}[\sin (n t)+\sin (n t)] \cos (n x).
(e) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}\left[\frac{1}{n} \cos (n t)+\sin (n t)\right] \sin (n x).
(f) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}[\cos (n t)+\sin (n t)] \sin (n x).
Passo 1
O problema fornece a equação da onda com condições de contorno de Dirichlet em x=0\) e \(x=\pi\) e condições iniciais. Precisamos identificar qual das alternativas dadas corresponde à solução \(u(x,t)\). Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
\[\begin{cases} u_{tt}-u_{xx}=0, & x\in(0,\pi),\\ t>0,\\[4pt] u(0,t)=u(\pi,t)=0, & t\ge 0,\\[4pt] u(x,0)=\varphi(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^{4}}, & x\in(0,\pi),\\[6pt] u_t(x,0)=\psi(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^{3}}, & x\in(0,\pi). \end{cases}
O que o enunciado pergunta: determinar qual das alternativas (a)–(f) é a expressão correta para (u(x,t)].]
Passo 2
Vamos lembrar (passo didático) qual é a forma geral da solução para esse problema: quando temos a equação da onda em (0,\pi) com u(0,t)=u(\pi,t)=0, as funções \sin(nx) (com n=1,2,\dots) são as autofunções espaciais que satisfazem as condições de contorno. Assim a solução pode ser escrita em série de senos:
Explicando por que essa forma: ao separar variáveis obtemos para o modo n a equação temporal T''(t)+n^{2}T(t)=0, cuja solução é A_n\cos(nt)+B_n\sin(nt). As \sin(nx) vêm do problema espaço com Dirichlet. Aqui A_n,B_n são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora usamos as condições iniciais para relacionar A_n,B_n com os coeficientes das séries de \varphi e \psi.
Avalie u em t=0:
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(nx).
Mas sabemos que u(x,0)=\varphi(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^{4}}. Comparando termo a termo (porque \{\sin(nx)\} é base ortogonal), concluímos que
Observação didática sobre comparação termo a termo: a ortogonalidade das funções \sin(nx) em (0,\pi) garante que se duas séries de senos são iguais ponto a ponto (suficientemente convergentes), então os coeficientes correspondentes são iguais. Se você não se lembra da ortogonalidade, a fórmula para coeficiente c_n de uma função f(x)=\sum c_n\sin(nx) é
c_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,
mas aqui isso não é necessário porque os coeficientes já foram dados explicitamente no enunciado.
Passo 4
Substituímos A_n e B_n na forma geral da solução. Temos A_n=\dfrac{1}{n^{4}} e B_n=\dfrac{1}{n^{4}}. Portanto
Agora comparamos essa expressão com as alternativas do enunciado: ela coincide exatamente com a alternativa (f).
Passo 6
Breve checagem intuitiva: tanto \varphi quanto \psi tinham coeficientes do tipo n^{-4} e n^{-3}. O termo temporal multiplicador do coeficiente de \psi sempre aparece dividido por n (porque u_t traz um fator n), então \psi_n/n = n^{-3}/n = n^{-4}, o que explica que os dois coeficientes A_n e B_n fiquem iguais e resultem em \dfrac{1}{n^{4}}(\cos nt+\sin nt).