Determine a série numérica que expressa o valor da seguinte integral definida
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar qual série numérica expressa o valor da integral
Informações dadas relevantes:
- A integral é definida no intervalo
. - A função integranda é
. Note que em parece haver uma singularidade por divisão por , mas isso será tratado mais adiante. - O enunciado apresenta cinco opções de séries (a) a (e); precisamos encontrar qual delas corresponde ao valor da integral.
Passo 2
Ideia de resolução (sem calcular ainda): expandir
em série de potências (série de Taylor) e integrar termo a termo. Vou explicar a série de Taylor de
e por que podemos usá-la aqui.
Fórmula conhecida (série de Taylor de
em torno de
):
onde
é uma variável qualquer. Aqui cada termo é
. Essa série converge para
para todo
(a função
é inteira), então podemos usá-la com
. Isso nos dá uma representação em potências de
.
Também precisamos justificar a troca entre somatório e integral: como a série de
converge uniformemente sobre o conjunto de
que usamos (aqui
varia num intervalo finito quando
), a série resultante em potências de
converge uniformemente em
. Logo é permitido integrar termo a termo. Não vou complicar com teoremas avançados: a ideia prática para prova é: série de potência convergente uniformemente em intervalo compacto permite integrar termo a termo.
Passo 3
Aplicando a série de
com
. Substituo
na série:
Agora vou simplificar
. Usando a propriedade de potências:
Portanto
Passo 4
Agora substituo essa série na integranda
. Dividindo por
reduz o expoente de
em uma unidade:
Ou seja, o integrando se torna uma série de potências em
com termo geral
Passo 5
Justificativa para integrar termo a termo: como explicado antes, a série de potências obtida converge uniformemente em
(porque os coeficientes decrescem rapidamente e
é compacto), e a função é contínua no intervalo exceto pela aparente divisão por zero em
. Em
o comportamento é
portanto a singularidade é removível e a função é integrável no intervalo. Assim podemos integrar termo a termo:
Passo 6
Agora calcule a integral de
. A fórmula básica de integração de potências é
para
. Aplicando de
a
com
obtemos
Passo 7
Substituindo esse resultado no somatório do Passo 5:
Posso escrever em forma idêntica à de uma das alternativas:
Comparando com as alternativas dadas, essa expressão coincide exatamente com a alternativa (b).
Passo 8
Resumo prático para a prova: expanda
usando a série de Taylor de
, divida por
, integre termo a termo usando
. O termo geral que aparece é exatamente o da alternativa (b).
Resposta
(b)