Determine a série numérica que expressa o valor da seguinte integral definida
\int_{0}^{\pi} \frac{2 \sin \left(3 x^{2}\right)}{x} d x
(a) \sum_{n=0}^{\infty} 2 \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)!} 3^{2 n+1} \pi^{4 n+1}.
(b) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{4 n+2} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)!} 3^{2 n+1} \pi^{4 n+2}.
(c) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{4 n+2} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)!} 3^{4 n+2} \pi^{4 n+2}.
(d) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{4 n+2} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)!} 3^{4 n+1} \pi^{4 n+1}.
(e) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{2 n+1} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)!} 3^{2 n+1} \pi^{2 n+1}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar qual série numérica expressa o valor da integral
\int_{0}^{\pi} \frac{2\sin\left(3x^{2}\right)}{x}\,dx.
Informações dadas relevantes:
  • A integral é definida no intervalo [0,\pi].
  • A função integranda é \dfrac{2\sin(3x^{2})}{x}. Note que em x=0 parece haver uma singularidade por divisão por x, mas isso será tratado mais adiante.
  • O enunciado apresenta cinco opções de séries (a) a (e); precisamos encontrar qual delas corresponde ao valor da integral.

Passo 2

Ideia de resolução (sem calcular ainda): expandir \sin em série de potências (série de Taylor) e integrar termo a termo. Vou explicar a série de Taylor de \sin e por que podemos usá-la aqui.
Fórmula conhecida (série de Taylor de \sin em torno de 0):
\sin(u)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,u^{2n+1},
onde u é uma variável qualquer. Aqui cada termo é \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}u^{2n+1}. Essa série converge para \sin(u) para todo u\in\mathbb{R} (a função \sin é inteira), então podemos usá-la com u=3x^{2}. Isso nos dá uma representação em potências de x.
Também precisamos justificar a troca entre somatório e integral: como a série de \sin(u) converge uniformemente sobre o conjunto de u que usamos (aqui u=3x^{2} varia num intervalo finito quando x\in[0,\pi]), a série resultante em potências de x converge uniformemente em [0,\pi]. Logo é permitido integrar termo a termo. Não vou complicar com teoremas avançados: a ideia prática para prova é: série de potência convergente uniformemente em intervalo compacto permite integrar termo a termo.

Passo 3

Aplicando a série de \sin com u=3x^{2}. Substituo u=3x^{2} na série:
\sin(3x^{2})=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,(3x^{2})^{2n+1}.
Agora vou simplificar (3x^{2})^{2n+1}. Usando a propriedade de potências:
(3x^{2})^{2n+1}=3^{2n+1}\,(x^{2})^{2n+1}=3^{2n+1}\,x^{4n+2}.
Portanto
\sin(3x^{2})=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,3^{2n+1}\,x^{4n+2}.

Passo 4

Agora substituo essa série na integranda \dfrac{2\sin(3x^{2})}{x}. Dividindo por x reduz o expoente de x em uma unidade:
\frac{2\sin(3x^{2})}{x}=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,3^{2n+1}\,x^{4n+1}.
Ou seja, o integrando se torna uma série de potências em x com termo geral
2\cdot\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,3^{2n+1}\,x^{4n+1}.

Passo 5

Justificativa para integrar termo a termo: como explicado antes, a série de potências obtida converge uniformemente em x\in[0,\pi] (porque os coeficientes decrescem rapidamente e [0,\pi] é compacto), e a função é contínua no intervalo exceto pela aparente divisão por zero em x=0. Em x=0 o comportamento é
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x^{2})}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{3x^{2}+O(x^{6})}{x}=0,
portanto a singularidade é removível e a função é integrável no intervalo. Assim podemos integrar termo a termo:
\int_{0}^{\pi}\frac{2\sin(3x^{2})}{x}\,dx = \int_{0}^{\pi} 2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,3^{2n+1}\,x^{4n+1}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} 2\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,3^{2n+1}\int_{0}^{\pi}x^{4n+1}\,dx.

Passo 6

Agora calcule a integral de x^{4n+1}. A fórmula básica de integração de potências é
\int x^{m}\,dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}+C,
para m\neq -1. Aplicando de 0 a \pi com m=4n+1 obtemos
\int_{0}^{\pi}x^{4n+1}\,dx=\left[\frac{x^{4n+2}}{4n+2}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi^{4n+2}}{4n+2}.

Passo 7

Substituindo esse resultado no somatório do Passo 5:
\int_{0}^{\pi}\frac{2\sin(3x^{2})}{x}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}2\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,3^{2n+1}\cdot\frac{\pi^{4n+2}}{4n+2}.
Posso escrever em forma idêntica à de uma das alternativas:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{4n+2}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,3^{2n+1}\,\pi^{4n+2}.
Comparando com as alternativas dadas, essa expressão coincide exatamente com a alternativa (b).

Passo 8

Resumo prático para a prova: expanda \sin(3x^{2}) usando a série de Taylor de \sin, divida por x, integre termo a termo usando \int_{0}^{\pi}x^{k}\,dx=\pi^{k+1}/(k+1). O termo geral que aparece é exatamente o da alternativa (b).

Resposta

(b)

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